مختصات استوانه ای
در فصل "حساب‌برداری" بخش مختصات استوانه‌ای به تفصیل در مورد این مختصات صحبت شد. آنچه در ابتدا خواهم گفت مطالبی در جهت یادآوری است.
در دستگاه استوانه‌ای مختصات هر نقطه با سه تایی
تعیین می‌شود بردارهای یكه آن از روابط زیر تعریف خواهند شد:
که
بردار مكان در این مختصات
می‌باشد. تبدیل‌های این مختصات با مختصات دكارتی به فرم مقابل است:
از این روابط می‌توان برای بدست آوردن بردارهای یكه این مختصات استفاده كرد.
بهتر است مشتق بردارهای یكه را هم بدست آوریم چون می‌دانیم كه برای بدست آوردن سرعت و شتاب بدرد خواهند خورد. برای اینكه می‌توان از بردارهای یكه مستقیماً مشتق گرفت (در مختصات دكارتی)
برای بدست آوردن سرعت كافی است از
در این مختصات نسبت به زمان مشتق بگیریم:
كاملاً مشابه مختصات قطبی است فقط یك سرعت در راستای سوم
اضافه شده است. برای شتاب خواهیم داشت:
كه باز هم مشابه مختصات قطبی است، با این فرق كه
برای بعد سوم اضافه شده است.
مثال
ذره‌ای تحت شتاب
قرار دارد كه
می‌باشد. معادلات حركت ذره را بیابید.
حل.
این مسأله را در بخش مختصات 3 بعدی دكارتی حل كردیم حال می‌خواهیم در مختصات استوانه‌ای حل كنیم، تا ببینیم آیا تفاوت می‌كند یا خیر؟
در معادله اول
گرفتن انتگرال بعدی از این رابطه كار مشكلی است زیرا رادیكال عبارت سمت راست در مخرج ظاهر می‌شود.
بیایید به معادله اول برگردیم و جواب را حدس بزنیم
ساده‌ترین حدس
ثابت است كه در این حالت
كه با در نظر گرفتن
به مقدار مقابل مشكلمان حل می‌شود. اما
كه حركتی با سرعت زاویه‌ای ثابت
و شعاع ثابت
است.
مقدار
از شرایط اولیه سرعت‌ها بدست می‌آید. نتیجه همانند حالت دكارتی منتها با چند اختلاف جزیی كه بعلت تفاوت در قراردادها ایجاد شده است.
مثال
شتابی كه سیاره‌ای تحت گرانش خورشید می‌گیرد از رابطه
بدست می‌آید. معادله مسیر حركت سیارات را از روی این شتاب بدست آورید.
حل.
فرض كنید در لحظه‌ای كه
در مكان
و با سرعت
نسبت به خورشید حركت می‌كند. در این حالت اگر مختصات استوانه‌ای خود را منطبق بر خورشید و صفحه گذرنده از
و
بكنیم آنگاه:
مؤلفه
در دستگاه صفر خواهد شد
اما مؤلفه‌های شتاب چگونه‌اند.
در این لحظه
سرعت
تغییر نخواهد كرد.
وقتی سرعت
تغییر نكند به این معناست كه بعد از حركت چون
بعداً هم
همان می‌ماند یعنی چون از ابتدا در جهت
حركت نمی‌كند و شتابش هم در آن راستا نمی‌شود همواره در صفحه
باقی خواهد ماند.
با این ترفند مسأله ما به یك مسأله دو بعدی در صفحه تبدیل شده كه
عملاً نقش مختصات قطبی را بازی می‌كنند. خوب معادلات حركت چه‌ها هستند؟
همان كلكی را كه قبلاً زده‌ام اینجا نیز می‌زنم و
را حذف می‌كنم و صرفاً یك معادله دیفرانسیل برای
می‌سازم:
ثابت
تعریف می‌كنیم:
معادله اصلی
جواب این معادله
می‌باشد.
اگر جهت‌گیری اولیه محور
را بگونه‌ای در نظر بگیریم كه
شود آنگاه
از بخش مقاطع مخروطی می‌دانید كه این معادله نشان‌گر یك مقطع مخروطی است.
می‌توان معادله را به فرم زیر مرتب كرد:
كه
همان خروج از مركز در مقاطع مخروطی است و
فاصله كانون تا خط هادی.
می‌دانید كه
هذلولی ،
سهمی ،
بیضی و
دایره را خواهد داد.
خروج از مركز زمین حدود
است.
پیوند های خارجی
http://Olympiad.roshd.ir/physics/content/pdf/0068.pdf
