منو
 صفحه های تصادفی
تهذیب جامعه از نظر ادیان مختلف
ویتامین B1
طلحه
تاریخچه بمب اتمی
زیاد بن ابیه
جدول تناوبی «ضد»
مشخصات کره زمین
ریشه و ساختمان آن
مقدس اردبیلی
تیره سیب زمینی
 کاربر Online
440 کاربر online

قضیه های کانتور

تازه کردن چاپ
علوم ریاضی > ریاضی
(cached)



این مطلب از بخش آموزش وب‌سایت المپیاد ریاضی رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در وب‌سایت المپیاد رشدموجود می‌باشد. برای مشاهده این موضوعات در وب‌سایت المپیاد، به آدرس فهرست مطالب ریاضی مراجعه کنید. همچنین می‌توانید با کلیک اینجا‌ ، با ویژگی‌های بخش آموزش این وب‌سایت آشنا شوید.


قضیه های کانتور

باز مطلب را با حالت ساده ذیل آغاز می کنیم.

قضیه1. ( م. ب. کانتور )

سه عمود وارد از وسطهای اضلاع یک مثلث بر مماسهای مرسوم بر دایره محیطی آن در راسهای متقابل، در مرکز دایره نه نقطه این مثلث متقارب اند.
برهان.
بی‌آنکه از کلیت کاسته شود، می توان دایره محیطی مثلث را دایره واحد فرض کرد. خاطر نشان می‌سازیم که معادله خطی که از نقاط واقع بر دایره واحد می گذرد چنین است

چون خط مماس بر دایره واحد در، همان حالت خاص قاطع است وقتی که بر منطبق شود،‌ پس معادله مماس در چنین خواهد شد

img/daneshnameh_up/d/d8/mathm0076a.gif

اعداد مختط متناظر با راسهای را به ترتیب با نمایش می‌دهیم. پس معادله مماس در نقطه عبارت است از

بنابراین معادله عمود وارد از نقطه،‌ وسط ضلع ، بر این خط مماس چنین خواهد شد

از قراردادن مختصات مرکز دایره نه نقطه، یعنی، در طرف چپ این معادله خواهیم داشت:

که درست برابر طرف راست معادله است معادله است. از این رو مرکز دایره نه نقطه در معادله عمود مرسوم از بر مماس درصدق می کند. همین طور، مرکز دایره نه نقطه، بر عمودهای مرسوم از بر مماسهای در راسهای مقابل مربوطه نیز واقع است.

قضیه 2. ( م. ب. کانتور )

فرض می‌کنیم نقطه بر یک دایره داده شده باشند. از مرکزوار هر نقطه از این نقاط، عمودی بر مماس مرسوم بر دایره در نقطه باقیمانده،‌ وارد می نماییم. در این صورت این عمود در یک نقطه متقارب اند.
برهان.
اثبات این قضیه،‌ عملاً درست به همان صورت قضیه قبلی صورت می گیرد. نقطه را بر دایره واحد اختیار می‌کنیم. معادله مماس در بر دایره چنین است: . پس معادله عمود مرسوم از مرکزوار نقاط یعنی نقطه

بر این مماس عبارت است از :

واضح است که نقطه

در این معادله صدق می‌کند.
هم اکنون به بیان دنباله نامتناهی از قضایا که م.ب. کانتور (1829-1920 ) کشف کرده مبادرت می‌ورزیم.

قضیه3

را شش نقطه همدایره می‌گیریم. چهار نقطه اشتراک چهار زوج سیمسن مربوط به نقاط نسبت به مثلثهای

همخط اند. این خط را خط کانتور دو نقطه نسبت به چهار ضلعی گویند.
برهان.
بی آنکه به کلیت مطلب خللی وارد می آید، می توان فرض کرد که هر شش نقطه بر دایره واحد قرار دارند و این نقاط را به ترتیب با اعداد مختلط و نمایش می‌دهیم. بنابراین معادله های خطوط سیمسن نقاط نسبت به چنین خواهند شد


img/daneshnameh_up/0/07/mathm0076b.gif

پس نقطه تلاقی این دو خط چنین خواهد شد

با قرار دادن






رابطه بالا چنین نوشته می‌شود

و بنابراین

با حذف از این دو رابطه،‌ خواهیم داشت

این رابطه ای است که باید نقطه تلاقی خطوط سیمسن نقاط نسبت به مثلث در آن صدق نماید. اما این رابطه نسبت به متقارن است ولذا باید نقطه تقاطع دو خط سیمسن نقاط نسبت به در آن صدق کند. از طرف دیگر این رابطه معادله یک خط راست است. بنابراین، این چهار نقطه تلاقی همخط اند.

قضیه4

فرض کنید هفت نقطه همدایره باشند. سه خط کانتور سه زوج. نقاط : و و،نسبت به چهار ضلعی متقارب اند. این نقطه تقارب را نقطه کانتور سه نقطه نسبت به چهار ضلعی گویند.
برهان.
به روال پیش، فرض می‌کنیم دایره مورد نظر،‌ دایره واحد باشد و اعدادمختلطی به ترتیب معرف نقاط هستند. بنابراین معادله های خطوط کانتور زوجهای نقاط: و نسبت به چهارضلعی چنین خواهد شد.


لذا نقطه تقاطع آنها چنین است

اما این عبارت نسبت به متقارن است و لذا خط کانتور دو نقطه نسبت به چهار ضلعی نیز از این نقطه می گذرد. بنابراین،‌ این نقطه باید نقطه ی کانتور سه نقطه نسبت به چهار ضلعی باشد.

قضیه5

فرض می‌کنیم هشت نقطه همدایره باشند. در این صورت پنج نقطه کانتور سه نقطه نسبت به چهار ضلعیهای

همخط اند. این خط را خط کانتور 3 نقطه نسبت به پنج ضلعی گویند.
برهان.
همانند قبل،‌فرض می کنیم دایره مورد نظر دایره واحد باشد ،‌و اعداد مختلطی باشند که به ترتیب نقاط را نشان می‌دهند. بنابراین نقطه کانتور سه نقطه نسبت به چهار ضلعی چنین است.

با قرار دادن





رابطه بالا چنین می شود


با حذف از این دو رابطه خواهیم داشت

این رابطه ای است که باید نقطه کانتور سه نقطه نسبت به چهار ضلعی در آن صدق کند. ولی این رابطه نسبت به متقارن است و بنابراین بایستی سه نقطه کانتورنسبت به چهار ضلعیهای ، نیز در آن صدق کنند. از طرف دیگر این معادله، معادله یک خط راست است. پس این پنج نقطه کانتور باید همخط باشند.
اکنون فرض کنید نه نقطه همدایره را داشته باشید، پس، ...


پیوند های خارجی

http://Olympiad.roshd.ir/mathematics/content/pdf/0103.pdf




تعداد بازدید ها: 14626


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..