صورت قضیه
یکی از اولین کشفیات
هندسه تصویری، قضیه معروف دزارگ (1593 – 1662) درباره مثلثهاست:
- اگر دو مثلث ABC و 'A'B'C در یک صفحه طوری قرار گرفته باشند که خطهای واصل راسهای متناظر آنها در نقطه‌ای چون O همرس باشند، آنگاه ضلعهای متناظر، اگر امتداد یابند، یکدیگر را در سه نقطه همخط قطع می‌کنند.
- شکل زیر این قضیه را نشان می‌دهد:
علی‌رغم سادگی شکل، که فقط شامل خطهای راست است، اثبات قضیه بدیهی نیست. این قضیه آشکارا به
هندسه تصویری تعلق دارد زیرا اگر کل شکل را به روی صفحه دیگری تصویر کنیم، همه ویژگیهای مذکور در قضیه محفوظ می‌مانند. اگر هم دو مثلث در دو صفحه متفاوت (ناموازی) قرار داشته باشند باز قضیه دزارگ برقرار است، و قضیه دزارگ در این حالت یعنی در (ناموازی) قرار داشته باشند باز قضیه دزارگ برقرار است، و قضیه دزارگ در این حالت یعنی در
هندسه سه بعدی خیلی ساده ثابت می‌شود.
اثبات
در واقع تفاوتی بنیادی بین قضیه دزارگ در
صفحه و در
فضا وجود دارد. در اثبات ما از حالت سه بعدی، استدلالی هندسی به کار رفت که فقط مبتنی بر مفاهیم ملازمت و تقاطع خطها و صفحه‌ها بود. می‌توان نشان داد که در اثبات قضیه در حالت دو بعدی، به شرط اینکه کاملاً در صفحه انجام گیرد، ملزم به استفاده از مفهوم
تشابه شکلها هستیم که مبتنی است بر مفهوم متری
طول و دیگر یک مفهوم تصویری نیست.
عکس قضیه دزارگ
اگر دو
مثلث ABC و
'A'B'C چنان قرار گرفته باشند که نقطه‌های تقاطع ضلعهای متناظر آنها همخط باشند، آنگاه خطهای واصل راسهای متناظر آنها همرس‌اند.
همچنین ببینید
پیوندهای خارجی
http://en.wikipedia.org/wiki/Desargues%27_theorem
http://mathworld.wolfram.com/DesarguesTheorem.html
http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/MOHR_TRIGGS/node20.html
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Desargues.shtml
منابع
- ریاضیات چیست؟ / ریچارد کورانت ، هربرت رابینز؛ ترجمه سیامک کاظمی _ تهران؛ نشر نی، 1379.
