منو
 صفحه های تصادفی
رنگ آبی
فرهنگ عام
وضعیت مردم در زمان مشروطه
اشتباهات بزرگ تاریخ
رؤیای امام حسین علیه السلام در شب عاشورا
اقشار مختلف شهر تیواناکو
ساختمان های مرکب یا پیوندی
خواص نوترون آزاد
ویژگیهای انحصاری
قارن بن ونداد هرمزد
 کاربر Online
511 کاربر online

قضیه اساسی حساب

تازه کردن چاپ
علوم ریاضی > ریاضی > حساب و جبر > جبر خطی
علوم ریاضی > ریاضی > حساب و جبر > نظریه اعداد
(cached)




قضیه

هر عدد صحیح n>1 را می‌توان (صرفنظر از ترتیب عوامل) فقط به یک طریق بصورت حاصل‌ ضربی از عوامل اول نمایش داد. برای اثبات صحت ادعای فوق از استقرا روی n استفاده می‌کنیم. قضیه برای n=2 درست است. پس فرض کنیم برای هر عدد صحیح بزرگتر از 1 و کوچکتر از n درست باشد. ثابت می کنیم قضیه برای n نیز درست است اگر n اول باشد، چیزی برای اثبات وجود ندارد. پس فرض کنیم n مرکب بوده و n دو تجزیه ، مثلا (*) داشته باشد، می‌خواهیم نشان دهیم S=t و هر p مساوی qای است.

چون حاصل‌ضرب را عاد می‌کند. باید دست کم یکی از عامل‌ها را عاد کند. را طوری اندیس‌گذاری می‌کنیم که . در اینصورت ، زیرا هر دو اولند. در عبارت (*) می‌توان با حذف از طرفین بدست آورد.
هرگاه S>1 یا t>1 ، آنگاه . پس بنابه فرض استقرا ، دو تجزیه ، صرفنظر از ترتیب عوامل ، باید یکی باشند. بنابراین ، S=t و تجزیه‌های (*) نیز صرفنظر از ترتیب ، یکی می‌باشند و بدین ترتیب اثبات قضیه اساسی حساب به پایان می‌رسد.

تذکر

در تجزیه عدد صحیح n ، عدد اول خاصی p ممکن است بیش از یک بار بیاید هرگاه عوامل اول متمایز n ، بوده و به عنوان یک عامل ، بار بیاید. می‌توانی بنویسیم:


یا مختصرتر . این تجزیه n به عوامل اول می‌نامند. همچنین ، می‌توان 1 را با اختصار هر نمای مساوی 0 به اینصورت بیان کرد:

قضیه

هرگاه ، که در آن به ازای i=1,2,...,r ،
  • هرگاه دو عدد صحیح و مثبت b,a دارای تجزیه‌های
باشند، آنگاه بمعم آنها تجزیه را دارد که در آن هر مساوی ، یعنی کوچکترین است.

الگوریتم اقلیدس

طبق نکته فوق اگر تجزیه به عوامل اول b,a معلوم باشند. یک روش عملی برای محاسبه بمعم بدست می‌دهد. اما ممکن است در تجزیه به عوامل اول محاسبات زیادی لازم باشد. فرآیند مفیدی وجود دارد بنام الگوریتم اقلیدس ، که محتاج به تجزیه b,a نیست. این فرآیند بر تقسیمات متوالی استوار است و در آن از مطلب زیر استفاده می‌شود:

الگوریتم تقسیم

به ازای اعداد صحیح b,a که b>0 جفت منحصر به فردی از اعداد صحیح مانند r,q وجود دارد که بطوری که a=bq+r که در آن بعلاوه r=0 اگر و فقط اگر b|a.

تذکر

می‌گوئیم q خارح قسمت و r باقی‌مانده در تقسیم a به b می‌باشند.

الگوریتم اقلیدسی

فرض کنیم اعداد صحیح و مثبت داده شده باشند که عاد نمی‌کند را. همچنین ، و الگوریتم تقسیم را متوالیا بکار بریم تا مجموعه باقیمانده‌های بدست آید که بترتیب با روابط زیر تعریف می‌شوند:



...
...
...



در اینصورت ، آخرین باقی‌مانده ناصفر در این فرآیند است یعنی .

مباحث مرتبط با عنوان


مطلب از: آیدا سلیم نژاد

تعداد بازدید ها: 16754


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..