منو
 صفحه های تصادفی
پیاز
اسپوروتریکوز
پیکان زمان
فاموتیدین
صنایع هوا فضا
فرضیه آمپر درباره جریان های جزئی
انواع رخساره‌های کربناته
مقام علی علیه السلام بالاتر از اندیشه مردم است
انواع روشهای مبارزه با علفهای هرز
گذر روزها
 کاربر Online
448 کاربر online

فرضیه پیوستار

تازه کردن چاپ
علوم ریاضی > ریاضی
علوم ریاضی > ریاضی > سرگرمیها و مسائل حل نشده ریاضی
علوم ریاضی
علوم ریاضی > ریاضی > حساب و جبر
(cached)




مقدمه

همانطور که می دانید ریاضیات علمی است پویا و مجهولات بسیاری در آن وجود دارد و همانند هر علم دیگر در آن فرضیه‌ها و حدس های اثبات نشده زیادی وجود دارد همانند حدس گلدباخ و نیز برخی از فرضیه‌هایی که در آن مطرح می‌شوند ممکن است قرنها بعد اثبات یا رد شوند، همانند حدسی که فرما مطرح کرد و به قضیه آخر فرما مشهور شد و بعد از گذشت حدود 357 سال با زحمت فراوان به اثبات رسید. ممکن است پرسشی توسط ریاضیدانی مطرح شود که بزرگترین ریاضیدانان را به چالش بکشد. یکی از این پرسش‌‌ها که تا کنون پاسخی برای آن یافت نشده است توسط ریاضیدان آلمانی، بنیان گذار نظریه مجموعه ‌ها جرج کانتورتصویر در سال 1880 مطرح گردید. همانطور که می‌دانید از جمله کارهای کانتور این بود که به هر مجموعه عددی نسبت داد که بیانگر تعداد عضو‌های آن مجموعه باشد که به آن عدد اصلی(Cardinal Number) می‌گویند. او عدد اصلی مجموعه اعداد طبیعی و هر مجموعه شمارای نامتناهی را برابر با و عدد اصلی مجموعه اعداد حقیقی را برابر با c قرار دارد. همانطور که می‌دانید عدد اصلی کوچکترین عدد اصلی ترامتناهی(ترانسفینی) است و داریم . در حدود سال 1880 کانتور سوال مهمی که به فرضیه پیوستار (Continuum Hypothesis) مشهور است را مطرح ساخت:
آیا عددی اصلی بین و وجود دارد؟
به زبان مجموعه‌ها، آیا هیچ زیرمجموعه‌ی نامتناهی ناشمارای R وجود دارد که عددی اصلی‌اش از عدد اصلی R کوچکتر باشد؟
کوشش کانتور و بسیاری دیگر از ریاضیدانان برجسته آن زمان در حل این مسئله به نتیجه نرسید. چون در هیچ جای ریاضیات کلاسیک به چنین مجموعه‌ای بر نخورده بودند و به نظر می رسید راهی برای پیدا کردن آن وجود ندارد، کانتور و دیگران معتقد شدند که جواب مسئله پیوستار باشد منفی باشد. این اعتقاد به عنوان فرضیه پیوستار مشهور شده است.

فرضیه پیوستار

عددی اصلی مانند x که در صدق کند وجود ندارد.

پرسشی که در ادامه مطرح شد بسیار نزدیک به فرضیه پیوستار است و معمولا آن را فرضیه پیوستار تعمیم یافته می‌خوانند: آیا عددی اصلی وجود دارد که بین دو عدد اصلی ترامتناهی(ترانسفینی) a و واقع باشد؟
این سوال نیز تاکنون جواب داده نشده است. این اعتقاد که چنین عدد اصلی وجود ندارد فرضیه پیوستار تعمیم یافته نامیده می‌شود.

فرضیه پیوستار تعمیم یافته

عدد اصلی ترامتناهی(ترانسفینی) a هر چه باشد، عدد اصلی مانند x وجود ندارد به گونه‌ای که .

دیری نپایید که در سال 1900، در کنگره بین‌المللی ریاضیدانان در پاریس، ریاضیدان بزرگ آلمانی دیوید هیلبرتتصویر(David Hilbert) فهرستی از 23 مسئله مهم ریاضی حل نشده را عرضه کرد، که اولین آنها فرضیه پیوستار بود. هیچ پیشرفتی در حل این مسئله نشد تا اینکه در سال 1938 کورت گودلتصویر منطق‌دان برجسته قرن، ثابت کرد که اگر فرضیه پیوستار تعمیم یافته به اصول موضوع نظریه مجموعه‌ها افزوده شود، آنگاه هر تناقضی که امکان داشته باشد به وسیله این دستگاه اصول موضوعی بوجود آید، ممکن است به صورت تناقضی بیان شود که از اصول موضوع قبلی(بدون اینکه فرض پیوستار تعمیم یافته به آنها اضافه شده باشد) نتیجه می‌شود. به عبارت دیگر، فرض پیوستار تعمیم یافته نسبت به اصول موضوع نظریه مجموعه‌ها سازگار است.
بالاخره در سال 1963 ریاضیدان جوان پل کوهن از دانشگاه استانفورد با استفاده از تکنیک خود با عنوان forcing کشف مهمی کرد. او نشان داد که فرضیه پیوستار تعمیم یافته بوسیله اصول موضوع متعارفی نظریه مجموعه‌ها اثبات شدنی نیست. کارهای گودل و کوهن نشان می‌دهد که فرضیه پیوستار به نوع نظریه مجموعه‌ها که به کار می‌بریم بستگی دارد. بنابراین، وضع فرض پیوستار تعمیم یافته در نظریه مجموعه‌ها، همانند اصل توازی پنجم اقلیدس(اصل پنجم) در هندسه است. می‌توانیم آنها را بپذیریم یا رد کنیم و در هر حالت یک تئوری سازگار ریاضی بدست می‌آوریم.


همچنین ببینید


تعداد بازدید ها: 20801


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..