منو
 کاربر Online
264 کاربر online

ضرب خارجی در فضای 3 بعدی

تازه کردن چاپ
علوم طبیعت > فیزیک
(cached)



این مطلب از بخش آموزش وب‌سایت المپیاد فيزيك رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در وب‌سایت المپیاد رشدموجود می‌باشد. برای مشاهده این موضوعات در وب‌سایت المپیاد، به آدرس فهرست مطالب فيزيك مراجعه کنید. همچنین می‌توانید با کلیک اینجا‌ ، با ویژگی‌های بخش آموزش این وب‌سایت آشنا شوید.


ضرب برداری (ضرب خارجی)( Vector Product)


این ضرب، ضربی است كه نتیجه‌اش خود برداری است یعنی
این ضرب بغیر از فضای سه بعدی در فضاهای پایین‌تری قابل تعریف نیست. بخاطر همین تا این بخش تعریفش نكردیم.
حال برویم سراغ تعریف بردار . می‌بایست ما جهت و مقدار را بیان كنیم. مقدار آن كه زاویه بین جهات است. اما جهت آن چگونه می‌شود؟
img/daneshnameh_up/a/a8/phm008a.jpg
راستای جهت آن همواره عمود بر صفحه‌ای است كه دو بردار و متعلق به آنند. خوب این راستا دو سو دارد. آن سویی در این راستا جهت را تعیین می‌كند كه از قاعده دست راست تبعیت كند، یعنی چنانچه با چهار انگشت دست خود در صفحه و بخواهیم از به سمت حركت كنیم انگشت شست ما آن سو را مشخص كند یا به تعبیر دیگر آن سوی این صفحه كه اگر از آن به سمت صفحه نگاه كنیم همواره بردار سمت راست بیفتد.
این ضرب خاص در الكترومغناطیس و دینامیك كاربردهای بسیاری دارد. مثلاً نیروی وارد بر یك بار متحرك با سرعت در یك میدان مغناطیسی باشد مقدار را خواهد داشت.
یا گشتاور یك نیرو طبق تعریف برابر است با كه نقطه اثر نیروی است.
اما خواص این ضرب چیست:
(1-2-4-3) پاد جابجایی
(2-2-4-3)
(3-2-4-3)
دو خاصیت اول از روی تعریف تقریباً بدیهی‌هستند ولی خاصیت آخر را به‌ سادگی نمی‌توان بدست آورد. قبل از آنكه به رویكرد مؤلفه‌ای بپردازیم خوب است تعبیر هندسی ضرب خارجی را ببینیم.
img/daneshnameh_up/d/d4/phm008b.jpg
اندازه‌
طبق شكل
كه ارتفاع متوازی‌الاضلاع مابین و است و كه مقدار قاعده‌ ارتفاع است. طبیعی است كه:
مساحت متوازی‌الاضلاع تعریف شده خواهد شد. در اصل ضرب خارجی بگونه‌ای برداری را برای مساحت تعریف می‌كند. اندازه این بردار مقدار مساحت متوازی‌الاضلاع حاصل از و است كه جهت قرارگیری این صفحه با جهت عمود آن كه داراست مشخص می‌شود.




مثال


مقادیر زیر را بیابید یا ساده كنید؟
الف)
ب)
ج)
د)
ه)
حل.
الف)
چون
ب و ج )
چون بر و عمود است پس:
د)
ه)
سه بردار یكه متعامدند كه اندازه آنها واحد است پس قطعاً ضرب آنها از آنجا كه است نیز بردار یكه خواهد شد.
می‌دانیم كه بردار بر عمود است پس: باید موازی باشد و چون مقدارش واحد است پس یا یا كه طبق قاعده دست راست و به همین صورت:
نكته‌ای كه قبلاً به آن اشاره نشده بود آن بود كه سوی به سمت كدامیك از طرفهای صفحه است. حال می‌بینیم آن سویی را در نظر می‌گیریم كه را مساوی با بكند.
img/daneshnameh_up/0/07/phm008c.jpg
به سه بردار یكه با چنین ترتیبی كه دستگاه راست‌گرد گویند یعنی آنكه رابطه‌ ضرب خارجی در آن به فرم زیر است.
img/daneshnameh_up/b/be/phm008d.jpg
اگر مثلاً جای ، در نظر می‌گرفتیم آن وقت سه بردار یك دستگاه چپ‌گرد را می‌ساختند زیرا در حالت زیر برای آنكه مؤلفه‌های بردار ضرب خارجی را در مختصات دكارتی بنویسیم باید از رابطه‌های (2-2-4-3)و(3-2-4-3) استفاده كنیم.
img/daneshnameh_up/b/b1/phm008e.jpg
----------------
----------------
می‌دانیم كه روابط مقابل برقرار است:
img/daneshnameh_up/0/04/phm008f.jpg
بیایید فرض كنیم تعریف ضرب برداری عبارت بالا بود آیا از این تعریف می‌توان به تعریف قبلی بازگشت. می‌دانیم از هر دو بردار یك صفحه می‌گذرد. می‌توانیم دستگاهمان را طوری بگردانیم كه در صفحه بیفتند. این كار را در صورتی می‌توانیم با موفقیت انجام دهیم كه مطمئن باشیم یك بردار است.
در این حالت:
و
كه واضح است همه‌ قواعد تعریف هندسی در آن هست.
مثلاً اندازه آن دقیقاً تطبیق می‌كند و اینكه جهت عمود بر صفحه است و شیوه نسبی زاویه كه زاویه‌ نسبت به است می‌توان قاعده دست راست را ایجاد كند.


پیوند های خارجی

http://Olympiad.roshd.ir/physics/content/pdf/0026.pdf




تعداد بازدید ها: 31231


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..