منو
 کاربر Online
572 کاربر online

صفحه مختلط

تازه کردن چاپ
علوم ریاضی > ریاضی > هندسه
(cached)



این مطلب از بخش آموزش وب‌سایت المپیاد ریاضی رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در وب‌سایت المپیاد رشدموجود می‌باشد. برای مشاهده این موضوعات در وب‌سایت المپیاد، به آدرس فهرست مطالب ریاضی مراجعه کنید. همچنین می‌توانید با کلیک اینجا‌ ، با ویژگی‌های بخش آموزش این وب‌سایت آشنا شوید.


صفحه مختلط

عدد مختلط را به صورت زوج مرتب اعداد حقیقی تعریف کردیم. اما مجموعه همه زوجهای مرتب اعداد حقیقی یک تناظر یک به یک با نقاط صفحه دارد. بنابراین طبیعی است که یک عدد مختلط را متناظر نقطه در صفحه بگیریم.
img/daneshnameh_up/2/25/mathm0039a.JPG
شکل1

انگاری محض با نقطه روی محور ها متناظر می‌شود. از این رو محور ها را محور حقیقی و محور ها را محور انگاری نامیده اند. صفحه ای که مجهز به محورهای حقیقی و انگاری باشد،‌ صفحه مختلط یا صفحه گاوس نامیده می‌شود.
اکنون به حاصل جمع اعداد مختلط در صفحه مختلط می‌پردازیم:
فرض کنید

پس

این رابطه، این مطلب را به ذهن القا می‌کند که بهتر است اعداد مختلط را به صورت بردار در نظر بگیریم. یعنی عدد مختلط را برداری در نظر بگیریم که مبداش، مبدا مختصات و منتهایش عدد مختلط باشد. به عبارت دیگر عدد مختلط را برداری در نظر بگیریم که تصاویر قائم آن بر محورهای مختصات باشند. طبیعی است که نظیر همین ملاحظات در مورد عدد مختلط نیز صادق است. بدین ترتیب، مجموع برداری است متناظر با قطر متوازی الاضلاعی ( به مبدا مرکز مختصات ) که بر دو بردار ساخته می‌شود. این گفته هم ارز است با رسم بردار از مبدا مختصات و سپس رسم بردارکه مبداش در منتهای باشد. در این صورت برداری که ابتدایش مبدا مختصات و منتهایش انتهایاست،‌ نمایش بردارخواهد بود. ( شکل 1)
از این پس، هر عدد مختلط را با یک نقطه یا یک بردار در صفحه مختلط ( هر کدام که در موقعیت خاص مناسبتر باشد ) مشخص می‌سازیم.
img/daneshnameh_up/4/49/mathm0039b.JPG
شکل2

اکنون مضرب حقیقی از یک عدد مختلط را در نظر می‌گیریم. به ازای ، داریم . در این صورت اگر ، اصلاً طول بردار را در ضرب می کنیم ( در همان جهت). در صورتی که ، طول بردار را در ضرب و بردار را در جهت مخالف رسم می‌کنیم.
img/daneshnameh_up/7/73/mathm0039c.JPG
شکل3

به خصوص، چون ، خواهیم داشت:

یعنی برای یافتن بردار، ابتدا جهت بردار را عکس می‌کنیم و مبدا بردار را انتهای می‌گیریم. بدین ترتیب برداری که مبداش، مبدا و انتهایش، انتهای است، را نمایش خواهد داد. به عبارت دیگر بردار برداری است که مبدا آن منتهای و منتهای آن،‌ منتهای باشد. ( به شرط آنکه یک مبدا داشته باشند ). باید توجه کرد که و دو قطر متوازی الاضلاعی هستند که دو ضلع مجاور آن هستند.

مثال1.

فرض کنید دو نقطه در صفحه مختلط باشند. پس وسط پاره خطی که دو نقطه را به هم وصل می‌کند،

خواهد بود.

مثال2.

در مثلث دلخواه ، اگر نقاط را به ترتیب وسطهای اضلاع بگیریم، موازی ضلع و طولش نصف طول خواهد شد.
img/daneshnameh_up/8/8f/mathm0039d.JPG
شکل4



حل.
فرض کنیددر صفحه مختلط داده شده است، و به ترتیب اعداد مختلط متناظر با راسهای هستند. در این صورت، وسطهای اضلاع یعنی به ترتیب متناظر با خواهند شد. بنابر بردار با رابطه زیر داده می‌شود

اما دقیقاً بردار و بنابراین نتیجه حاصل است.

مثال3.

نقطه واقع بر پاره خط واصل بین نقاط که این فاصله را به نسبت تقسیم می‌کند با تساوی زیر داده می‌شود

که در آن اعداد حقیقی مثبت اند. زیرا به آسانی می‌توان دید که

که این رابطه مطلوب را می‌دهد.
با بیانی هم ارز با بیان بالا، اگر را نقطه ای دلخواه روی پاره خطی که نقاط را به هم وصل می‌کند. بگیریم، آنگاه به ازای مقداری از
، داریم:


img/daneshnameh_up/1/18/mathm0039e.JPG
شکل5

به عکس،‌ فرض کنید این رابطه برقرار باشد. پس چون استدلال مذکور دوسویی است، می‌توان نتیجه گرفت که باید نقطه ای بر پاره خطی در صفحه مختلط باشد، که را به هم وصل می‌کند.

مثال4.

فرض کنید سه نقطه دلخواه در صفحه مختلط باشند. پس وسط پاره خط واصل بین نقاط نقطه است و بنابراین معادله پارامتری میانه ماّر بر راس از چنین است

پس نقطه ای که این میانه را به طور درونی به نسبت تقسیم می‌کند با قرار دادن در عبارت بالا به دست می‌آید، یعنی

اما این عبارت نسبت به متقارن است، و لذا این نقطه میانه های مار از رئوس را نیز به طور درونی به نسبت تقسیم می‌نماید. بنابراین سه میانه مثلث دلخواه در یک نقطه متقاطع‌اند. این نقطه را مرکزوار یا مرکز ثقل گویند.
به ازای، قدر مطلق را چنین تعریف می‌کنیم.

img/daneshnameh_up/7/70/mathm0039f.JPG
شکل6

باید توجه کرد که طولهای سه ضلع یک مثلث اند و لذا نام نابرابری مثلثی

نامی است با مسمی. از لحاظ هندسی روشن است که این نابرابری فقط هنگامی به تساوی تبدیل می‌شود که مثلث به پاره خط بدل شود.



نمایش اعداد مختلط در مختصات قطبی

تا اینجا جنبه برداری اعداد مختلط را به کار گرفته ایم و به قدرت واقعی اعداد مختلط توجهی نکرده ایم. عمل ضرب برای اعداد مختلط عملی است خوشتعریف. در صورتی که برای بردارها چنین نیست. حاصلضرب نقطه ای (حاصلضرب داخلی) دو بردار، یک عددوار است نه یک بردار، در صورتی که ضرب خارجی دو بردار واقع در یک صفحه برداری است که دیگر در این صفحه نیست. ( ضرب خارجی فقط در فضای سه بعدی مفید است.) اساس کاربرد اعداد مختلط در هندسه مسطحه بر این واقعیت استوار است که حاصلضربهای اعداد مختلط،‌ اعدادی مختلطند.
برای ضرب اعداد مختلط بجاست که از نمایش قطبی اعداد مختلط استفاده کنیم. برای نقطه ای مانند یا در صفحه مختصات،‌ بردار ( مبدا مختصات ) را در نظر می‌گیریم. فرض کنید زاویه بینوجهت مثبت محور ها باشد، پس .
طبیعی است که با تقریب به پیمانه یعنی تعیین می‌شود. یعنی،‌ اگرازاختلاف مضرب صحیح صرفنظر کنیم، به طور یکتا تعیین می‌شود. زاویه را شناسه عدد مختلط می‌گویند.
در سراسر این مطالب همواره تساویهایی که متضمن شناسه باشند همنهشت به پیمانه به حساب می‌آیند، مگر آنکه به صراحت خلاف آن عنوان شود، یعنی اختلاف مضارب نادیده گرفته شود.
را مختصات قطبی نقطه می‌گویند.
img/daneshnameh_up/e/ef/mathm0039g.JPG
شکل7

مبدا مختصات نقطه منحصر به فردی است که در آن. شناسه در مبدا مختصات تعریف نشده است.
اگر ، نمایش قطبیرا می‌توانیم چنین بنویسیم.

یعنی معرف شناسه است.

مثال5.

به ازای ،
img/daneshnameh_up/5/57/mathm0039h.JPG

img/daneshnameh_up/a/a5/mathm0039i.JPG
شکل8

مثال 6.




مثال 7.

فرض کنید پس

قرار میدهیم در این صورت:

لذابه علاوه:

توجه داشته باشید که:

نقاطوبه انضمام سه راس یک مثلث متساوی الاضلاع محاط در دایره واحد را تشکیل می دهند
img/daneshnameh_up/1/19/mathm0039.gif
شکل 9

نمایش قطبی برای ضرب اعداد مختلط به علت زیر مناسب است:

قضیه 1.

فرض کنید:

در این صورت:

یعنی:

به عبارت دیگر، قدرمطلق حاصلضرب، مساوی حاصلضرب قدرمطلقها و شناسه حاصلضرب مساوی مجموعه شناسه هاست.
برهان.


بنا بر فرمولهای جمع داریم
img/daneshnameh_up/e/ec/mathm0039j.JPG

توجه. با محدود نمودن شناسه به بازه یا شناسه به ازای جمیع مقادیر ( بجز ) به طور یکتا مشخص می‌شود، ولی در این صورت رابطه

معتبر نخواهد بود و تابعی پیوسته از نخواهد شد.

فرع 1.



فرع 2.

( دموآور ).به ازای ،

یعنی
و

برهان.
فقط حالت را ثابت می‌کنیم. داریم

از تقسیم دو طرف این تساوی بر داریم
img/daneshnameh_up/b/bf/mathm0039k.JPG

زیرا:
img/daneshnameh_up/f/fb/mathm0039l.JPG

فرع 3.


( به شرط )

مثال8.

از فرمول دوموآور می‌توان فرمولهای توابع سینوس و کسینوس را استخراج نمود. اگر در آن فرمول را مساوی 1 بگیریم،‌ خواهد شد:

بویژه به ازای
img/daneshnameh_up/f/f0/mathm0039m.JPG

این قضیه می‌گوید که ضرب در درصفحه مختلط به معنی بزرگ کردن ( یا کوچک کردن) شکل به وسیله ضرب در عامل ، و دوران آن (پادساعتسو) به زاویه است. به ویژه ضرب 1 در ،‌ یعنی دوران (پادساعتسو ) به زاویه است.
با این مقدمات،‌ اگر نقاط در صفحه مختلط داده شده باشند، می توانیم حاصلضرب را به طور هندسی رسم کنیم. آنچه که باید توجه کنیم این است که متشابه ( و هم جهت ) اند.
img/daneshnameh_up/4/40/mathm0039n.JPG
شکل10

همچنین برای رسم خارج قسمت از راه هندسی، کافی است توجه کنیم که متشابه ( و هم جهت ) اند.

مثال9.

مطلوب است نمایش هندسی. فرض کنید . پس متشابه ( و هم جهت ) اند و را طبق شکل 11 رسم می‌کنیم.
اکنون به حالتی بر می‌گردیم که نابرابری مثلثی

به تساوی بدل می‌شود. با بررسی برهان متوجه می شویم که تساوی هنگامی و فقط هنگامی برقرار می‌شود که یکی از شرایط هم ارز زیر برقرار باشد:
1.
2. عدد حقیقی نامنفی باشد.
3. عدد حقیقی مثبتی باشد یا .
4. یک شناسه ( به پیمانه ) داشته باشند.
5. بر یک شعاع که از مبدا مختصات رسم می شود قرار داشته باشند.
6.بردارهای یک امتداد داشته باشند.

img/daneshnameh_up/6/6e/mathm0039o.JPG
شکل11


پیوند های خارجی

http://Olympiad.roshd.ir/mathematics/content/pdf/0059.pdf




تعداد بازدید ها: 17729


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..