منو
 کاربر Online
698 کاربر online

سیر تکاملی انتگرال

تازه کردن چاپ
علوم ریاضی > ریاضی > حساب دیفرانسیل و انتگرال
(cached)

مقدمه

قبل از کوشی ، تعریفی از انتگرال در معنای واقعی واژه "تعریف" وجود نداشت. توجه اشخاص محدود به این بود که مشخص کنند کدام مساحتها را باید جمع یا تفریق کرد تا انتگرال به دست آید.
ولی در نظر کوشی ، تعریف لازم بود زیرا توجه به دقت که مشخصع ریاضیات نوین است با او آغاز شد. کوشی توابع پیوسته و انتگرال این توابع را به روشی شبیه روش امروزی ما تعریف کرد. از نظر او برای رسیدن به انتگرال f(x) کافی بود که مجموع های
(1)########فرمول

را تشکیل دهد که مساحان و ریاضیدانان فرنها برای تقریب زدن مساحت از آن استفاده کرده اند، و از اینم طریق به وسیله گذار را نتیجه بگیرد. اگر چه این گذار ، به وضوح از نظر کسانی که ]نیل به انتگرال را[ با مفهوم مساحت آغاز می کنند. مجاز بود ، اما کوشی می بایست ثابت کند که مجموع S، تحت شرایطی که او در نظر گرفت واقعا به حدی میل می کند هر وقت به جای یک عقیدیه تجربی ، یک تعریف منطقی محض قرار گیرد، الزام مشابهی در کار می آید. باید اضافه شود که در این صورت فایده موضوع تعریف شده ، دیگر آشکار نیست و آن را فقط از بررسی ویژگیهای آن موضوع می توان نتیجه گرفت. این تاوان پیشرفت منطقی است. کاری که کوشی انجام د اد آنقدر قابل توجه هست که معنایی فلسفی داشته باشد. معمولا گفته می شود که دکارت ، هندسه را به جبر فرو کاست.
مدتهای طولانی از توابع ناپیوسته مشخصی انتگرال گرفته می شد. تعریف کوشی هنوز در مورد این انتگرالها به کار می آمد ، اما طبیعی بود که حوزه دقیق این تعریف بررسی شود ، همچنان که ریمان بررسی کرد.
اگر کرانهای پایین و بالای f(x) را بر (xi , xi+1) مشخص کنند ، آنگاه S بین دو مقدار
$$$$$فرمول

قرار می گیرد. ریمان نشان داد برای اینکه تعریف کو شی به کار آید ، کافی است که
$$$$$فرمول
به ازای دنباله مشخصی از افرازهای (a ,b) به بازه های کوچکتر و کوچکتر (xi,xi+1) به سمت صفر میل کند. داربو اضافه کرد که گذار متعارف به حد از s-i,s معمولا دو عدد مشخص
$$$فرمول

را به دست می دهد. این اعداد در حالت کلی متفاوت اند ، و تنها هنگامی برابرند که انتگرال کوشی – ریمان موجود باشد. از دیدگاه منطقی این تعریفها بسیار طبیعی اند. این طور نیست؟ با وجود این می توان گفت که در عمل غیر قابل استفاده هستند. تعریف ریمان به خصوص این عیب را دارد که تنها به ندرت و به مفهومی ، به طور اتفاقی قا بل به کار بردن است.

در و ا قع آشکار است که اگر f(x) پیوسته باشد. افراز کردن (a,b) به بازه های کوچکتر و کوچکتر (xi,xi+1) تفوت f-I,fi را کوچکتر و کوچکتر می سازد و ب ا توجه به ایم فرایند پیوستگی ، واضح است که اگر تنها تعداد معدودی نقطه ناپیوستگی داشته باشیم ، این افراز کردن موجب می شود S--s-به سمت صفر میل می کند. اما دلیل در دست نیست که امیدوار باشیم همین وضعیت قبرای تابعی که همه جا ناپیوسته است ، برقرار باشد. بنابراین در عمل ، کوچکتر و کوچکتر کردن بازه های (xi,xi+1) یعنی در نظر گرف تن مقادیر f(x) به ازای مقادیری از x که به هم نزدیک و نزدیکتر می شوند به هیچ وجه تضمین نمی کند مقادیری از f(x) به دست آید که تفاوتهای آنها کوچکتر و کوچکتر شوند.
برای دستیابی به هدف ، کار را با گرد هم آوردن یا دسته بندی مق ادیری از f(x) که تفاوتی ناچیز دارند ، ادامه می دهم. از این قرار واضح است که باید به جای (a1,b) بازه f-) و (f-
را که به کرانهای پایین و بالای f(x) بر (a,b) محدود است ، افراز کنیم. این عمل را به کمک اعداد yz ای که تفاوتشان به یکدیگر کمتر از εf(x) را در نظر می گیریم که به وسیله رابطه
$$$$$$$$فرمول
تعریف می شوند. مقادیر متناظر x ، مجموعه ای مانند Ei تشکیل می دهند. در وضعیت شکل 2 این مجموعه Ei از چهار بازه تشکیل شده است. در مورد تابع پیوسته مشخصی چون f(x) ممکن است تعداد ی نامتناهی بازه تشکیل شود. وضعیت در مورد تابعی دلخواه ممکن است خیلی پیچیده باشد. اما مساله ای نیست ؛ این مجموعه Ei است که نقش متناظر بازه (r,ri+1) در تعریف انتگرال توابع پیوسته را عهده دار است ، زیرا مقادیری از x را به ما معرفی می کند که به f(x) مقادیری با نفاوت ناچیزمی دهد.

اگر عدد دلخواهی باشد که بین yi+1,yi انتخاب شود:

مقادیر f(x) به ازای نقاط Ei تفاوتی کمتر از با دارند. عدد همان نقشی را به عهده خواهد داشت که f(εi) در (1 ) داشت. به همین ترتیب نقش طول یا اندازه بازه (xi,xi-1) یعنی xi+1-xi را اندازه m(Ei) ، که کمی بعد آن را به مجموعه Ei نسبت خواهیم داد ، به عهده خواهد داشت به این نحو ، مجموع را تشکیل می دهیم. اما نخست بیابید به آنچه تا کنون انجام داده ایم بنگریم و برای فهم بهتر ، آن را با عباراتی دیگر بازگو کنیم.

هندسه دانان قرنه هفدهم ، انتگرال f(x) را واژه "انتگرال" هنوز وضع نشده بود ، اما این زیاد مهم نیست- به عنوان مجموع تعدادی نامتناهی از تقسیم ناپذیر در نظر داشتند ، که هر یک از آنها عر ض f(x) ، مثبت یا منفی ، می باشد. بسیار خوب ! ما فقط تقسیم ناپذیرها را دسته بندی کرده آنهایی را که تقریبا هم اندازه هستند در یک دسته قرار داده ایمن. به عباتر دیگر - همچنان که در جبر می گوییم - دست به گردآوری یا تقلیل عبارات مشابه زده شده است و باز می توان گفت که با روش ریمان ، ریاضیدانان سعی می کردند تقسیم ناپذیرها را با در نر گرفتنشان به ترتیبی که با تغییرات x ، به دست می آمد ، جمع کنند. در این مورد مانند تاجری عمل می کردند که قاعده و اسلوبی در کارش ندارد ، یعنی مانند کسی که سکه ها و اسکناسها را به طور اتفاقی و به ترتیبی که در دستانش قرار می گیرد شمارش می کند . در حالی که ما همچون

تعداد بازدید ها: 23065


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..