منو
 کاربر Online
1404 کاربر online

زیرگروه خارج قسمتی

تازه کردن چاپ
علوم ریاضی > ریاضی > شاخه های ریاضی > ریاضی محض
علوم ریاضی > ریاضی > شاخه های ریاضی > ریاضی محض
(cached)



زیرگروه خارج قسمتی :

فرض کنید یک گروه و .مجموعه همدسته های در را با نماد نمایش می دهیم و :

قانون ترکیب را در مجموعه چنین تعریف می کنیم :

به گروه خارج قسمتی به معروف است.

تذکر:

اگر گروه جمعی باشد ، آنگاه :

و قانون ترکیب را به صورت زیر تعریف میکنیم:



قضیه 1.

اگر ، آنگاه یک گروه است . در صورتیکه گروه متناهی باشد ، آنگاه مرتبه برابر است با

اثبات:

ابتدا نشان میدهیم کهگروه است :
بسته است . چرا که اگر آنگاه :

این مجموعه شرکت پذیر نیز می باشد .زیرا:


با توجه به اینکه یک گروه است ، بنابراین :

اکنون به بررسی خاصیت عنصر خنثی می پردازیم :

حال خاصیت عنصر وارون هر عضو را بررسی میکنیم :

بنابراین:


جابجاگر:

اگر ، آنگاه عنصر را جابجاگر می نامند و نشان می دهیم :

نکته:

  • اگر گروه جابجایی باشد ،آنگاه و برعکس.
  • در حالت کلی مجموعه تمام جابجاگرها یک گروه را تشکیل نمی دهند ، به عبارت دیگر حاصلضرب دو جابجا گر ، لزومی ندارد که یک جابجاگر باشد .
  • برای هر داریم:


گروه مشتق ( گروه جابجاگر ها ):

اگر یک گروه باشد ، مجموعه را به صورت زیر تعریف می کنیم :

که معرف حاصلضرب تعداد متناهی جابجاگر است . را گروه مشتق یا جابجاگر های می نامند.

قضیه2 .

اگر یک گروه باشد ،آنگاه

اثبات :

میدانیم .زیرا و همچنین .
حال فرض می کنیم دلخواه باشند . ثابت کنیم :

بنابراین:

لذا . حال ثابت می کنیم :

قضیه 3 .

اگر و همچنین باشد ،آنگاه جابجایی است اگر و فقط اگر

اثبات:

فرض کنیم عناصر دلخواه باشند.
میدانیم عنصر خنثی گروه خارج قسمتی است.
جابجاگر دلخواه را از گروه در نظر می گیریم . آنگاه جابجایی است ، اگر و تنها اگر:




تعداد بازدید ها: 11606


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..