منو
 صفحه های تصادفی
کوتاه و خواندنی ریاضی
مدار نمایش اعداد از طریق 7Segment
نیرنگهای مأمون برای تخریب شخصیت امام رضا علیه السلام
چوپانیان
فتوحات روسیه
ویژگیهای انحصاری
عبادت امام کاظم علیه السلام در زندان
اهل اعراف
تاریخ زمین گرمایی
خط سومری
 کاربر Online
517 کاربر online

دایره 9 نقطه

تازه کردن چاپ
علوم ریاضی > ریاضی
(cached)



این مطلب از بخش آموزش وب‌سایت المپیاد ریاضی رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در وب‌سایت المپیاد رشدموجود می‌باشد. برای مشاهده این موضوعات در وب‌سایت المپیاد، به آدرس فهرست مطالب ریاضی مراجعه کنید. همچنین می‌توانید با کلیک اینجا‌ ، با ویژگی‌های بخش آموزش این وب‌سایت آشنا شوید.


دایره نه نقطه

مثلث داده شده است. مرکز دایره محیطی آن ، را مبدا در صفحه مختلط می‌گیریم و فرض می‌کنیماعداد مختلطی به ترتیبی معرف راسهای باشند. بی آنکه از کلیت کاسته شود می‌توان شعاع دایره محیطی مثلث را 1 فرض کرد، یعنی .
پس طبیعی است سؤال کنیم که نقطه در کجاست؟
چون داریم و به علاوه ، نقطهوسط ضلع است، بر عمود مرسوم از راس بر ضلع واقع و طول دو برابر طول خواهد شد. با توجه به تقارن، بر عمود وارد از بر و همچنین بر عمود مرسوم از بر نیز قرار دارد. یعنی همان نقطه ، محل برخورد ارتفاعهای مثلث است. توجه دارید که نشان دادیم سه عمود مرسوم از راسهای مثلث بر اضلاع مقابل در یک نقطه که مرکز ارتفاعات مثلث نامیده می‌شود متقارب اند.

img/daneshnameh_up/b/b7/mathm0073a.gif


اما نقطه وسط پاره خطی است که مرکز دایره محیطی را به، مرکز ارتفاعات، وصل می‌کند. فاصله تا نقطه، وسط ضلع ، برابر است با

همین طور فاصله تا نقطه وسط ضلع ،و تا نقطهوسط ضلع همه برابراست.
علاوه بر این فاصله نقطه تا وسط پاره خطی که مرکز ارتفاعات را به راس وصل می‌کند. برابر است با

همین طور فاصله تا وسط و نیز تا وسط همه برابر است.
برای یافتن ، پای عمود وارد از راسبر ضلع ، ابتدا نقطه، محل تلاقی دیگر این عمود را با دایره محیطی مثلث حساب می‌کنیم. بنابراین باید در شرایط
img/daneshnameh_up/7/73/mathm0073c.gif

صدق می‌نماید. از شرط اول نتیجه می‌شود که:
انگاری محض است
یعنی

با قرار دادن و غیره، این رابطه به صورت زیر در می‌آید

پس

برای آزمایش درستی محاسبات،‌ ملاحظه می‌کنیم و و نیز که می‌رساند،‌ یعنینقطه تلاقی دیگر عمود مرسوم از راس بر ضلعبا دایره محیطی است.
اما فواصل راس از به ترتیب برابرند با


پس یک مثلث متساوی الساقین است و

از اینجا نتیجه می‌شود که فاصله تا ( پای عمود مرسوم از راس بر ضلع ) چنین است

همین طور فاصله تا پاهای دیگر عمودها نیز برابر است.
img/daneshnameh_up/9/9a/mathm0073b.gif



به طور خلاصه چنین به دست آورده ایم.

قضیه1.

( دایره نه نقطه ). در هر مثلث :
الف.پاهای عمودهای وارد از راسها بر اضلاع مقابل؛
‌ب.وسطهای اضلاع؛ و
‌ج.وسطهای پاره خطهایی که مرکز ارتفاعات را به سه راس وصل می‌کنند.
همه بر دایره ای واقع اند که مرکز آن وسط پاره خطی است که مرکز ارتفاعات را به مرکز دایره محیطی وصل می‌کند و شعاع آن نصف شعاع دایره محیطی است.
خط ماربر مرکز ارتفاعات، مرکز دایره محیطی، مرکزوار، و مرکز دایره نه نقطه به خط اویلر مثلث معروف است.
فرض می کنیم سه نقطه دلخواه بر دایره واحد باشند. پس مرکز دایره محیطی، مرکزوار، مرکز دایره نه نقطه و مرکز ارتفاعات مثلث به ترتیب عبارت اند از

و شعاع دایره نه نقطه برابراست.
فرض می کنیم چهار نقطه بر دایره واحد داده شده باشند. اگر هر بار سه نقطه از این چهار نقطه را اختیار کنیم،‌ چهار مثلث به دست می‌آید ( که همه آنها محاط در این دایره واحدند ).
مرکز دایره نه نقطه مثلث نقطه است،
مرکز دایره نه نقطه مثلث نقطه است،
مرکز دایره نه نقطه مثلث نقطه است،
مرکز دایره نه نقطه مثلث نقطه است،
و شعاع همه آنها برابر است.
نقطه

را در نظر می‌گیریم. در این صورت، بی درنگ نتیجه می‌شود که

بنابراین دایره های نه نقطه مثلثهای :

همه از نقطه

می‌گذرند. به خصوص مراکز چهار دایره نه نقطه فوق بر دایره ای به مرکز و شعاع قرار دارند این دایره را دایره نه نقطه چهار ضلعی می‌نامیم.
اکنون فرض می کنیم پنج نقطه بر دایره واحد داده شده باشند. پس مرکز دایره نه نقطه چهار ضلعی نقطه

است و هکذا برای چهار ضلعیهای دیگر،‌ و فاصله های این مراکز تا نقطه

برابرند با
و غیره
پس مراکز دوایر نه نقطه چهار ضلعیهای

بر دایره ای به مرکز و شعاع قرار دارند. این دایره را دایره نه نقطه پنج ضلعی می‌نامیم.
سپس، فرض کنید شش نقطه بر دایره واحد داده شده باشند و ...
از این رو یک رشته نامتناهی قضیه داریم که ج.ل. کولیج آنها را کشف کرده است.

پیوند های خارجی

http://Olympiad.roshd.ir/mathematics/content/pdf/0100.pdf




تعداد بازدید ها: 16095


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..