منو
 صفحه های تصادفی
چگونه گرما جامد را به مایع تبدیل می نماید؟
مذهب
سختی و مشکلات ظهور
مازندران
انواع پرسشنامه تحقیقاتی
حذف کردن نام برنامه ها از فهرست Add/Remove Programs
نقطویان چه کسانی بودند و علت شورش آنها چه بود ؟
گردبادهای دریایی
یزید بن زیاد و شهادت در کربلا
زمین تضمین شده
 کاربر Online
691 کاربر online

خط سیسمن

تازه کردن چاپ
علوم ریاضی > ریاضی
(cached)



این مطلب از بخش آموزش وب‌سایت المپیاد ریاضی رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در وب‌سایت المپیاد رشدموجود می‌باشد. برای مشاهده این موضوعات در وب‌سایت المپیاد، به آدرس فهرست مطالب ریاضی مراجعه کنید. همچنین می‌توانید با کلیک اینجا‌ ، با ویژگی‌های بخش آموزش این وب‌سایت آشنا شوید.


خط سیمسن

این بخش را با شرح مقدماتی درباره معادله خط آغاز می‌کنیم.
خطی مانند داده شده است. فرض می کنیمبردار واحد عمود بر فاصله مبدا تا خط باشند. در این صورت به ازای هر نقطه بر ، برداری است واقع بر خط و چون برداری است عمود بر، داریم:
یک عدد انگاری محض است
یعنی

پس معادله خط چنین داده می‌شود

یعنی
، که و
برای به دست آوردن معادله خط عمود بر فقط به جای مقدار می گذاریم
به ازای مقداری مانند
؛ یعنی
img/daneshnameh_up/d/dc/mathm0074a.gif

که در آن ثابت طرف راست را می‌توان طوری اختیار کرد که خط از نقطه مشخصی بگذرد.
باید توجه داشت که یک معادله خطی بر حسب و فقط و فقط وقتی معادله یک خط راست است که خود – مزدوج باشد؛ یعنی نتیجه مزدوج مختلط گرفتن از طرفین معادله باید معادله ای هم ارز با معادله اولیه به دست دهد. مثلاً‌ اگر مزدوج مختلط معادله:
( که در آن: )
را به دست آوریم، خواهد شد:

با قرار دادن این معادله به معادله:

بدل می‌شود که همان معادله اولیه است. همین طور است در مورد معادله

به خصوص، لازم ( ولی نه کافی ) است که ضرائب ی در معادله

قدرمطلقهای برابر داشته باشند؟ یعنی . از اینجا نتیجه می‌شود که معادله هایی مانند یا معادله های خط نیستند.
اکنون آماده اثبات قضیه سیمسن هستیم.

قضیه1.

نقطه ای مانندومثلث داده شده اند. فرض می کنیم پاهای عمودهای مرسوم از به ترتیب براضلاع باشند. در این صورت همخط اند، اگر و فقط اگربر دایره محیطی مثلث باشد.
برهان.
بدون اینکه خللی برکلیت مساله وارد آید، می‌توان فرض نمود که مثلث در دایره ای به شعاع واحد محاط شده است و نقاط را به ترتیب با اعداد مختلط نمایش می‌دهیم.


img/daneshnameh_up/7/78/mathm0074b.gif

در این صورت،‌ معادله خط عبارت است از
img/daneshnameh_up/2/2d/mathm0074ba.gif

یعنی

با استفاده از روابط می توان این معادله را چنین نوشت

از این رو،‌ معادله عمود مرسوم از بر ضلع چنین می شود

بنابراین،‌ نقطه ، فصل مشترک این دو خط، از حل این دو معادله به دست می آید:

همین طور از روابط


به دست می آیند. امّا،
همخط اند
ولی با قرار داد ( بنابراین )، داریم

بنابراین
همخط اند
همدایره اند



این خط را عموماً خط سیمسن نقطه نسبت به مثلث گویند. ولی مورخان بیهوده این خط را در آثار رابرت سیمسن ( 1687 – 1768 ) جستجو کرده اند. به نظر می رسد که اولین بار ویلیام والاس (1768 – 1843 ) در 1797 آن را مطرح کرده باشد.
اکنون می‌خواهیم معادله خط سیمسن را پیدا کنیم. همان قرار دادهای قبلی را به کار می گیریم؛ به خصوص فرض می‌کنیم مثلث محاط در دایره واحد باشد و نقطه بر این دایره واحد قرار داشته باشد. پس نقطه ، پای عمود وارد از بر ضلع ،‌ چنین خواهد بود.

اکنون نمادهای

را وارد می کنیم. پس

بدین ترتیب عبارتی که در بالا برای به دست می‌آید چنین خواهد شد

و

و از حذف بین دو رابطه خواهیم داشت

این رابطه ای است که باید پای عمود،‌ وارد از بر ضلع در آن صدق نماید. ولی، چون این رابطه فقط شاملو لذا نسبت به متقارن است،‌ نتیجه می‌شود که نقاط ، یعنی پاهای عمودهای مرسوم از نقطه به ترتیب بر اضلاع و نیز باید در آن صدق کنند. ولی این معادله،‌ معادله یک خط مستقیم است،‌ لذا پاهای عمودهای همخط اند،‌ و معادله به دست آمده، معادله خط سیمسن مربوطه است. این برهان دیگری است برای قسمت شرط لازم قضیه 1.

قضیه 2.

گیریم سه نقطه بر دایره محیطی مثلث باشند. شرط لازم و کافی برای تقارب خطوط سیمسن نقاط نسبت به مثلث برقراری همنهشتی زیر است.
( پیمانه img/daneshnameh_up/6/64/mathm0074bb.gif)

برهان.
دایره محیطی مثلثرا دایره واحدو را به ترتیب اعداد مختلط متناظر با نقاط می گیریم. پس معادله های سه خط سیمسن مورد نظر عبارت اند از





پس فصل مشترک دو خط اول سیمسن، نقطه

و فصل مشترک دو خط دیگر،‌ نقطه

است، بنابراین،‌ شرط لازم و کافی برای انطباق این دو نقطه،‌ برقراری تساوی یعنی است.
چون اعدادی مختلط با قدر مطلق 1 هستند، با برابر گرفتن شناسه های آنها به ترتیب خواهیم داشت.
( پیمانه )

( پیمانه )

که شرط مطلوب است.
باید توجه کنیم که اگر این شرط برقرار باشد،‌ نقطه فصل مشترک با تساوی زیر داده می‌شود.

با توجه به تقارن این رابطه نسبت به مقادیر فرع زیر به دست می‌آید.

فرع1.

را شش نقطه بر یک دایره در نظر می‌گیریم. در این صورت خطهای سیمسن نقاط نسبت به مثلثمتقارب اند، اگر و فقط اگر خطوط سیمسن نقاط نسبت به مثلث متقارب باشند. به علاوه، در این حالت، هر شش خط سیمسن در وسط پاره خطی که مرکز ارتفاعات مثلث و را به هم وصل می‌کند، متقارب اند.
img/daneshnameh_up/5/5b/mathm0074c.gif

فرع 2.

فرض می‌کنیم به ترتیب وسطهای اضلاع از مثلث و به ترتیب پاهای عمودهای وارد از راسهای بر اضلاع مقابل باشند.در این صورت شش نقطه بر دایره نه نقطه مثلث واقع اند و خطوط سیمسن نقاط نسبت به مثلثمتقارب اند. عکس این فرع نیز صحیح است.
برهان. دایره محیطی مثلث را دایره واحد می گیریم و فرض می کنیم راسهای به ترتیب با اعداد مختلط متناظر باشند. در این صورت با توجه به بحث مربوط به دایره نه نقطه، نقاط به ترتیب متناظر با اعداد مختلط:

و نقاط متناظر با اعداد مختلط

خواهند شد. علاوه بر این،‌ همه این شش نقطه بر دایره نه نقطه یی واقع اند که مرکز آن،‌ ، نقطه و شعاع آن است. از این رو داریم


و چون

حکم برقرار و قضیه ثابت شده است.


پیوند های خارجی

http://Olympiad.roshd.ir/mathematics/content/pdf/0101.pdf




تعداد بازدید ها: 11970


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..