منو
 کاربر Online
439 کاربر online

حد(المپیاد)

تازه کردن چاپ
علوم طبیعت > فیزیک
(cached)



این مطلب از بخش آموزش وب‌سایت المپیاد فيزيك رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در وب‌سایت المپیاد رشدموجود می‌باشد. برای مشاهده این موضوعات در وب‌سایت المپیاد، به آدرس فهرست مطالب فيزيك مراجعه کنید. همچنین می‌توانید با کلیک اینجا‌ ، با ویژگی‌های بخش آموزش این وب‌سایت آشنا شوید.


حد


در بخش قبلی تابع معرفی شد. حال نوبت به مفهومی به نام حد (Limit) در ریاضیات می‌رسد.
حتماً تا بحال نام «بینهایت» (Infinity) را در ریاضیات شنیده‌اید. اساساً مفهوم بینهایت یک مفهوم جدی است. یعنی اینکه بینهایت را آن چیزی در نظر می‌گیریم که از تمام اعداد بزرگتر باشد.
یا
به هر صورت بینهایت آن چیزی است که هیچگاه به آن نمی‌توان رسید و حد بالای تمام اعداد است.
فرض کنید طول پاره‌خطی به مقدار واحد را نصف کنیم. سپس آن نصف را مجدداً نصف کنیم و … در نهایت چه عددی حاصل خواهد شد؟
بعد از مرتبه نصف‌کردن مقدار طول حاصل خواهد بود.
اگر بتوانیم بینهایت بار نصف کنیم مقدار طول چقدر می‌شود؟ اعداد بدست آمده نشان می‌دهند که یواش یواش با افزایش به سمت صفر می‌رود. ولی آیا مقدار هیچگاه صفر خواهد شد؟ قطعاً نه بلکه اگر به سمت برویم مقدار به سمت صفر می‌رود. به بیان ریاضی خواهد شد.
یاحد---------- یا
در تمام تعابیر بالا اگر میل کند به بینهایت، میل می‌کند به سمت صفر یعنی حد وقتی به سمت بینهایت می‌رود صفر است.
من قصد بیان دقیق‌تر حد را ندارم ولی در کتب مختلف " حساب دیفرانسیل و انتگرال" می‌توان تعریف دقیق ریاضی آن را ببینید.
بیایید تابع حقیقی را بررسی کنیم.
img/daneshnameh_up/d/d7/phm025a.jpg
مطابق با ضابطه تابع درخواهیم داشت که بی‌معنا است. ولی در بقیه مقادیر ، نمودار تابع را نیز می‌بینید که شامل تمام نقاط هست به غیر از .
حال سؤال اینجاست که اگر ما مثلاً از سمت راست بینهایت بار به نقطه نزدیک شویم انتظار داریم مقدار تابع به کدام عدد نزدیک شود؟
طبیعی است که به عدد 5 گرچه هیچگاه مقدار نخواهد شد ولی حد تابع وقتی به 2 نزدیک می‌شود برابر 5 است.
در مورد نقطه دیگر مثلاً چطور؟ در اینجا خواهد شد که مقدار خود تابع نیز می‌باشد.
حال فرض کنید تابع به فرم
img/daneshnameh_up/8/8c/phm025b.gif
در این حالت حدس می‌زنیدچقدر باشد؟
1 ، 4 یا هیچکدام؟
در این حالت حد تابع همان 1 است. درست است که مقدار تابع یعنی است ولی انتظارات ما وقتی خیلی (بینهایت بار) به نزدیک می‌شویم از خروجی تابع عدد 1 است نه 4.


مثال



حال تابع را در نظر بگیرید.
مقدار و را بدست آورید. مقدار چقدر است.
جواب.
که وجود ندارد زیرا معنایی ندارد.
امّا در مورد حد آن چطور، بیایید به نمودار تابع نگاهی بیندازیم.
img/daneshnameh_up/9/96/phm025c.gif
می‌بینید هر چقدر از هر دو طرف به نزدیک می‌شویم تابع بدون هیچ محدودیتی همواره زیاد می‌شود و این همان تعریف بینهایت است.
پس
در مورد حد آخر بدیهی است هر چقدر زیاد شود به صفر نزدیک می‌شود.
پس
•پیوستگی به معنای دقیق یعنی آن که حد تابع در نقطه پیوسته با مقدارش یکی شود.
تابع در نقطه پیوسته است.
این را می‌توانید مثلاً در مورد تمام مثالهای قبلی امتحان کنید و برابری این تعریف را با شهودمان از تابع پیوسته مطابقت دهید.


مثال


{* حد را حساب کنید.
جواب.
پس حد در حالت اتفاق می‌افتد که قطعاً تابع مقداری ندارد.
برای حل این حد از یک نامساوی مثلثاتی استفاده می‌کنیم:

بر روی دایره مثلثاتی این نامساوی بدیهی خواهد بود. ( همیشه برحسب رادیان است.) فرض کنید باشد آنگاه:


می‌دانیم که پس مقدار در حد به سمت صفر در نامساوی زیر قرار خواهد گرفت:

که بدیهی است می‌بایست باشد.
در حل این مثال به طور ضمنی از قضیه ساندویچ (Squeeze Theorem) استفاده شد که می‌گوید:
(حواشی )


مثال


{* حاصل چه می‌شود؟
جواب. در اینجا ما با یک فرآیند جمع‌کردن بینهایتی روبرو هستیم که قطعاً و عملاً ممکن نیست ولی می‌توان آنرا ابتدا درست تعریف کرد و پس از آن با مفهوم حد آن را جمع بست.
را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

طبق تصاعد هندسی می‌دانیم مقدار آن خواهد شد:

حال جمع بینهایت جمله به معنای آن است که حد را حساب کنیم:

قضایایی در حد هستند که می‌توانند برای حل مسائل مفید باشند گرچه خیلی از آنها بدیهی‌هستند ولی گفتنشان خالی از فایده نیست:


اگر

اگر در پیوسته باشد:

پیوند های خارجی

http://Olympiad.roshd.ir/physics/content/pdf/0034.pdf




تعداد بازدید ها: 12074


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..