منو
 کاربر Online
589 کاربر online

جمعبندی ایده های حل مسائل معادلات تابعی II

تازه کردن چاپ
علوم ریاضی > ریاضی
(cached)



این مطلب از بخش آموزش وب‌سایت المپیاد ریاضی رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در وب‌سایت المپیاد رشدموجود می‌باشد. برای مشاهده این موضوعات در وب‌سایت المپیاد، به آدرس فهرست مطالب ریاضی مراجعه کنید. همچنین می‌توانید با کلیک اینجا‌ ، با ویژگی‌های بخش آموزش این وب‌سایت آشنا شوید.


جمع‌بندی ایده‌های حل مسایل معادلات تابعی

ایده ششم. روش حل مسایلی که است و شرط را داریم.

دسته‌ای از مسایل معادلات تابعی که اخیراً هم مورد توجه قرار گرفته‌اند، آنهایی می‌باشند که شروطی روی اعداد اول مانند دارند. بطور مثال حل یک معادله تابعی با شرط برای هر اول مورد نظر می‌باشد. یا ممکن است سوال اینطور مطرح شود که با شرطداشته باشیم. ایده کلی حل اینگونه مسایل آن است که ابتدا برای اعداد و یا مقدار تابع را بیابیم، سپس با توجه به اینکه هر عدد طبیعی بصورت به اعداد اول قابل تجزیه است، مقدار را محاسبه می‌نماییم. برای روشن‌تر شدن بحث به مثال زیر توجه کنید.

مثال6

تابع را طوری بیابید که در شرایط زیر صدق کند:

و برای هر

اثبات.
قرار می دهیم، بدست می‌آید:
(1)

در رابطه (1) قرار می‌دهیم:
(2)

(3)

اکنون در رابطه اصلی مسالهرا قرار می‌دهیم:

اما با توجه به رابطه (2) داریم: پس بدست می‌آید:

اکنون براحتی بدست آوردیم که اگر باشد، داریم:

حال در رابطه اصلی مساله را جایگزین می کنیم:

که با توجه به رابطه (2) نتیجه می‌دهد: دلخواه ).
اکنون برای محاسبه ، به این نکته توجه می‌کنیم که هر عدد طبیعی را می‌توان بصورت یکتا به عوامل اول بفرم نوشت و چون ها نسبت به هم اولند، لذا از رابطه (4) داریم :

اما داشتیم ، پس:

یعنی برای محاسبه تنها کافی استها را محاسبه کنیم، به عبارت دیگر لذا برای حل کامل مساله، کافی است را که در آن عددی اول است، محاسبه کنیم. ثابت می کنیم برای هر عدد اول داریم که در آن عددی دلخواه می‌باشد. با برهان خلف، فرض کنید عدد اول q موجود باشد که و ثابت می‌کنیم این امکان ندارد.
در رابطه (1) قرار می‌دهیم ، پس با توجه به اینکه خواهیم داشت ، پس بدست می‌آید:

اما با توجه به رابطه (3) داریم و هم چنین، پس :


اما با توجه به رابطه (1) در فرض مساله تنها عددی که، می‌شود فقطاست. پس رابطه برای اعداد اول ناممکن است و لذا فرض اولیه مبنی بر اینکه را اشتباه بوده است. پس تمام عوامل باید فقط باشند، یعنی داریم ، که البته در آن ها می‌توانند برای های اول مختلف، فرق داشته باشند.
پس رابطه بدین صورت خواهد بود:

خواننده براحتی می‌تواند با قرار دادن این تابع در شرط اصلی مساله صحت روابط را بررسی کند که البته توصیه می‌شود این کار حتماً انجام شود.



ایده هفتم. استفاده از دنباله‌های بازگشتی

بوضوح رابطه تنگاتنگی میان مسایل معادلات تابعی و دنباله های بازگشتی وجود دارد، و بطور خاص توابعی که روی مجموعه اعداد طبیعی تعریف می‌شوند، می‌توانند بصورت معادل با دنباله‌هایی بازگشتی متناظر باشند. بطور نمونه مثال زیر رادرنظر بگیرید: تعریف شود: دنباله‌ای طبیعی که و هدف سوال محاسبه می‌باشد. علاوه بر نکات فوق گاهی قرار دادن بعنوان جمله ام یک دنباله مفید است، بدین معنی که تعریف کنیم
… ,
به مثال زیر توجه کنید.

مثال 7

تمام توابع را بیابید که برای هر داشته باشیم:

اثبات.
ابتدا توجه کنید که تابع در معادله فوق صدق می‌کند، نشان می‌دهیم تنها تابع مذکور جواب مساله خواهد بود.
در رابطه اصلی مساله، قرار می‌دهیم که در آن عددی طبیعی و دلخواه می‌باشد، براحتی‌ خواهیم داشت:

اکنون با تعریف دنباله‌ای حقیقی مانند به شکل برای هر ، مساله بفرم رابطه بازگشتی زیر تبدیل خواهد شد

و توجه کنید که هدف ما تعیین خواهد بود.
با توجه به روش حل روابط بازگشتی می‌توانیم معادله مشخصه زیر را به این دنباله بازگشتی متناظر کنیم:


ریشه‌های متمایز و حقیقی
(1)

اکنون کافی است مشخص شوند تا محاسبه شود