منو
 کاربر Online
561 کاربر online

جمعبندی ایده های حل مسائل معادلات تابعی II

تازه کردن چاپ
علوم ریاضی > ریاضی
(cached)



این مطلب از بخش آموزش وب‌سایت المپیاد ریاضی رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در وب‌سایت المپیاد رشدموجود می‌باشد. برای مشاهده این موضوعات در وب‌سایت المپیاد، به آدرس فهرست مطالب ریاضی مراجعه کنید. همچنین می‌توانید با کلیک اینجا‌ ، با ویژگی‌های بخش آموزش این وب‌سایت آشنا شوید.


جمع‌بندی ایده‌های حل مسایل معادلات تابعی

ایده ششم. روش حل مسایلی که است و شرط را داریم.

دسته‌ای از مسایل معادلات تابعی که اخیراً هم مورد توجه قرار گرفته‌اند، آنهایی می‌باشند که شروطی روی اعداد اول مانند دارند. بطور مثال حل یک معادله تابعی با شرط برای هر اول مورد نظر می‌باشد. یا ممکن است سوال اینطور مطرح شود که با شرطداشته باشیم. ایده کلی حل اینگونه مسایل آن است که ابتدا برای اعداد و یا مقدار تابع را بیابیم، سپس با توجه به اینکه هر عدد طبیعی بصورت به اعداد اول قابل تجزیه است، مقدار را محاسبه می‌نماییم. برای روشن‌تر شدن بحث به مثال زیر توجه کنید.

مثال6

تابع را طوری بیابید که در شرایط زیر صدق کند:

و برای هر

اثبات.
قرار می دهیم، بدست می‌آید:
(1)

در رابطه (1) قرار می‌دهیم:
(2)

(3)

اکنون در رابطه اصلی مسالهرا قرار می‌دهیم:

اما با توجه به رابطه (2) داریم: پس بدست می‌آید:

اکنون براحتی بدست آوردیم که اگر باشد، داریم:

حال در رابطه اصلی مساله را جایگزین می کنیم:

که با توجه به رابطه (2) نتیجه می‌دهد: دلخواه ).
اکنون برای محاسبه ، به این نکته توجه می‌کنیم که هر عدد طبیعی را می‌توان بصورت یکتا به عوامل اول بفرم نوشت و چون ها نسبت به هم اولند، لذا از رابطه (4) داریم :

اما داشتیم ، پس:

یعنی برای محاسبه تنها کافی استها را محاسبه کنیم، به عبارت دیگر لذا برای حل کامل مساله، کافی است را که در آن عددی اول است، محاسبه کنیم. ثابت می کنیم برای هر عدد اول داریم که در آن عددی دلخواه می‌باشد. با برهان خلف، فرض کنید عدد اول q موجود باشد که و ثابت می‌کنیم این امکان ندارد.
در رابطه (1) قرار می‌دهیم ، پس با توجه به اینکه خواهیم داشت ، پس بدست می‌آید:

اما با توجه به رابطه (3) داریم و هم چنین، پس :


اما با توجه به رابطه (1) در فرض مساله تنها عددی که، می‌شود فقطاست. پس رابطه برای اعداد اول ناممکن است و لذا فرض اولیه مبنی بر اینکه را اشتباه بوده است. پس تمام عوامل باید فقط باشند، یعنی داریم ، که البته در آن ها می‌توانند برای های اول مختلف، فرق داشته باشند.
پس رابطه بدین صورت خواهد بود:

خواننده براحتی می‌تواند با قرار دادن این تابع در شرط اصلی مساله صحت روابط را بررسی کند که البته توصیه می‌شود این کار حتماً انجام شود.



ایده هفتم. استفاده از دنباله‌های بازگشتی

بوضوح رابطه تنگاتنگی میان مسایل معادلات تابعی و دنباله های بازگشتی وجود دارد، و بطور خاص توابعی که روی مجموعه اعداد طبیعی تعریف می‌شوند، می‌توانند بصورت معادل با دنباله‌هایی بازگشتی متناظر باشند. بطور نمونه مثال زیر رادرنظر بگیرید: تعریف شود: دنباله‌ای طبیعی که و هدف سوال محاسبه می‌باشد. علاوه بر نکات فوق گاهی قرار دادن بعنوان جمله ام یک دنباله مفید است، بدین معنی که تعریف کنیم
… ,
به مثال زیر توجه کنید.

مثال 7

تمام توابع را بیابید که برای هر داشته باشیم:

اثبات.
ابتدا توجه کنید که تابع در معادله فوق صدق می‌کند، نشان می‌دهیم تنها تابع مذکور جواب مساله خواهد بود.
در رابطه اصلی مساله، قرار می‌دهیم که در آن عددی طبیعی و دلخواه می‌باشد، براحتی‌ خواهیم داشت:

اکنون با تعریف دنباله‌ای حقیقی مانند به شکل برای هر ، مساله بفرم رابطه بازگشتی زیر تبدیل خواهد شد

و توجه کنید که هدف ما تعیین خواهد بود.
با توجه به روش حل روابط بازگشتی می‌توانیم معادله مشخصه زیر را به این دنباله بازگشتی متناظر کنیم:


ریشه‌های متمایز و حقیقی
(1)

اکنون کافی است مشخص شوند تا محاسبه شود، با توجه به شرایط اولیه داریم:
img/daneshnameh_up/f/fc/mma0089a.gif

اکنون ادعا می کنیم که فقط می‌تواند مقدار صفر را قبول کند، زیرا توجه کنید که برد تابع، می‌باشد، لذا برای هر باید داشته باشیم . با توجه به رابطه (1) و اینکه ، می‌توان بسادگی نتیجه گرفت که اگر ( یا ) باشد آنگاه برای های فرد (های زوج)، با زیاد شدن ، مقدار منفی خواهد شد که متناقض با رابطه . می‌باشد ، لذا تنها زمانی برای هر ، مثبت خواهد بود که داشته باشیم ،‌یا به عبارتی:

البته توجه کنید در اینصورت خواهیم داشت که با جایگذاری در رابطه (1) نتیجه می‌دهد

که می‌توان درستی آنرا از رابطه بسادگی بدست آورد.



ایده هشتم. استفاده از قضیه مقدار میانی

در مسایلی که شرط پیوستگی توابع برای معادلات تابعی ذکر شده باشد امکان استفاده از قضیه مقدار میانی وجود دارد. به صورت این قضیه و اثبات شهودی آن دقت کنید.

قضیه 1.(قضیه مقدار میانی)

فرض کنید تابع تابعی پیوسته روی کل باشد، و به ازای دو عدد داشته باشیم: . با این فرضها می‌توان نشان داد یک عدد در بازه وجود دارد که.
img/daneshnameh_up/5/5a/mma0089b.gif

اثبات.
یک اثبات مقدماتی بدین ترتیب خواهد بود:
با توجه به شکل 1 و بعلت پیوستگی تابع ، می‌توان گفت که چون مقدار تابع ، در یک نقطهمنفی است و در یک نقطه دیگر مثبت است، لذا حتماً باید در نقطه‌ای میان این دو نقطه مقدار صفر را بخود بگیرد که ما نام نقطه را می گذاریم. به عبارت دیگر بعلت پیوستگی تابع و جهش نداشتن آن،‌ امکان ندارد تابع از یک مقدار منفی به یک مقدار مثبت برسد، بدون آنکه در نقطه‌ای در این فاصله صفر گردد.

مثال8

فرض کنید باشد و که در آن هستند و می‌دانیم و ثابت کنید دو عدد موجودند که داشته باشیم:

اثبات.
توجه کنید که چند جمله‌ای درجه سوم است و لذا چون تمام چندجمله‌ایها روی پیوسته هستند، نیز روی پیوسته خواهد بود. اکنون با توجه به فرض‌های مساله به نظر می‌رسد تعریف یک تابع بدین صورت مناسب باشد:

اکنون براحتی و با توجه به فرض‌های مساله خواهیم داشت:


پس داریم ، اما هم تابعی پیوسته خواهد بود (چرا؟) لذا می‌توان با استفاده از قضیه مقدار میانی گفت که عدد وجود دارد به نحوی که
اکنون کافی است قرار دهیم ، خواهیم داشت و البته شرط نیز برقرار است.



ایده نهم. مسایلی که در آنها هدف، ساختن یک تابع باشد

گاهی خواسته مسایل این است که تنها یک تابع با شرایط ذکر شده، بدست آورید. در حالیکه تقریباً در تمام مسایلی که ما تا کنون با آنها برخورد داشته‌ایم، بدست آوردن کل توابع مد نظر بوده است. حل این سری از مسایل معادلات تابعی نیز شیوه بخصوصی ندارد، اما روش‌های راهگشا می‌توانند شامل حدس زدن، بدست آوردن چند مقدار اولیه از تابع، بدست آوردن تابع به ازای مقادیر خاصی مانند اعداد اول و .... باشند.

مثال9

تابع را طوری بیابید که داشته باشیم:

اثبات.
دقت کنید که مساله، یافتن تمام این توابع را در نظر ندارد. سعی می‌کنیم با بدست آوردن چند مقدار تابع ، آنرا حس بزنیم.

و با قرار دادن در رابطه دوم خواهیم داشت:

اما داشتیم ، که از آنجا بدست می‌آید . اکنون در رابطه دوم قرار می‌دهیم،

و از رابطه خواهیم داشت .
اگر اندکی دقت کنید می‌توانید رابطه تابع را حدس بزنید. برای راهنمایی بیشتر به این نکته توجه می‌کنیم که چون برد ، است لذا همواره بزرگتر از صفر خواهد بود اما با توجه به رابطه می‌توان بسادگی برای هر نوشت، اما بدست آوردیم: از اینجا می‌توان حدس زد که برای اعداد طبیعی خواهیم داشت و همچنین . اکنون حدس خود را برای کل مقادیر می‌آزماییم،‌ ادعا می‌کنیم برای هر عدد گویای مثبت داریم یا مشابهاً برای هر عدد داریم . خواننده می‌تواند براحتی با جایگذاری این تابع در روابط مساله، درستی جواب را امتحان کند.



ایده دهم. مسایلی که هدف آنها بدست آوردن تعداد توابع است

در مواردی مساله تعداد توابعی را که در شروط مساله صدق می‌کنند، مد نظر دارد. البته در مواردی نیز امکان دارد مساله بدین نحو طرح شود که مثلاً معادله چند جواب دارد و غیره.
در اینجا به حل یک نمونه از این نوع مسایل می‌پردازیم، خواننده می‌تواند برای حل بیشتر اینگونه معادلات تابعی، به فصل مسایل پایانی مراجعه نماید.

مثال10. تعداد توابع را بیابید که در شروط زیر صدق کنند:



اثبات.
در ابتدا با توجه به طبیعی بودن دامنه و برد تابع ، با استفاده از ایده هفتم، می‌توان دنباله طبیعی را به تابع متناظر کرد تا عملیات محاسباتی ساده‌تر گردد

رابطه فوق را اینگونه نیز می‌توان نوشت:

از تفریق این دو رابطه از هم بدست می‌آوریم:


(1)

رابطه (1) برای هر درست است، لذا می‌توان گفت برای هر، که در آن عددی ثابت می‌باشد. اما اگر در همین رابطه قرار دهیم خواهیم داشت، که نتیجه می‌دهد . از طرفی نیز با قرار دادن در رابطه اصلی مساله بدست می‌آوریم ، که معادل می‌باشد. اگر رابطه اخیر را در معادله قرار دهیم، خواهیم داشت:
(2)

سمت چپ عبارت فوق عددی طبیعی است، لذا باید داشته باشیم:

اما می‌دانیم ، پس داریم : یعنی برای هر باید رابطه برقرار باشد.
اکنون کافی است برای از رابطه استفاده کنیم. دقت کنید می‌توان نوشت سمت چپ عبارت فوق برقابل قسمت است (چرا؟) لذا باید داشته باشیم اما می‌توان بسادگی مشاهده کرد که 1977 عددی اول است، لذا بوضوح تنهامی‌تواند برقرار باشد و از آنجا بدست می‌آید، یعنی عددی طبیعی خواهد بود.
اکنون مجدداً به رابطه (2) باز می‌گردیم، با توجه به طبیعی بودن k باید داشته باشیم

یا به عبارت دیگر ، یعنی باید مقسوم علیه 1998 باشد. اما می‌دانیم تعداد مقسوم‌علیه‌های عدد برابر است و داریم ، پس تعداد مقسوم‌علیه‌های 1998، 16 است، یعنی می‌تواند 16 مقدار بگیرد. خواننده شخصاً می تواند بسادگی اثبات کند که به ازای این 16 مقدار، (مقسوم‌علیه‌های 1998) دنباله تعریف شده طبیعی خواهد بود و جواب یکتا خواهد داشت. لذا می‌توان گفت برای هر یک مقدار مشخص بدست می‌آید و برای هر یک دنباله خاص بوجود می‌آید. که نشان می‌دهد تعداد توابع در صورت مساله، برابر 16 عدد می‌باشد.







تعداد بازدید ها: 15806


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..