منو
 کاربر Online
767 کاربر online

اکسترمم نسبی

تازه کردن چاپ
علوم ریاضی > ریاضی > حساب دیفرانسیل و انتگرال
(cached)



اگر تابع f در نقطه ای مانند a دارای Max نسبی یا Min نسبی باشد گوئیم تابع f در نقطه a اکسترمم نسبی دارد و f(a) را مقدار اکسترمم نسبی تابع f و نقطه a را نقطه اکسترمم تابع f می گوئیم.

دید کلی

بنابراین منظور از اکسترمم نسبی ، Max یا Min نسبی می باشد پس تعریف Max نسبی و Min نسبی ضروری به تظر می رسد:

تعریف Max نسبی و Min نسبی

تابع f و یک همسایگی از آن را روی نقطه a به صورت N(a, ) در نظر می‌گیریم به طوری که تابع f در این همسایگی تعریف شده باشد. اگر به ازای هر x N(a, ) داشته باشیم f(x) f(a) آنگاه f(a) را مقدار Max نسبی تابع در نقطه a می نامیم.
به همین ترتیب هرگاه در همسایگی فوق برای نقطه b به ازای هر رابطه f(x) f(b) صدق کند f(b) را مقدار Min نسبی تابع f در نقطه b می نامیم.
توجه می کنیم کلمه نسبی در تعاریف فوق به این علت است که ما رفتار تابع را در یک همسایگی محذوف بررسی می کنیم نه در کل قلمرو تابع. به طوری که هرگاه روابط بالا به ازای تمام قلمرو تابع صادق باشند مقادیر f(a) و f(b) را به ترتیب Max مطلق و Min مطلق یا به عبارت دیگر سوپریمم (sup) و اینفیمم (inf) تابع f روی قلمرو فرد می گیریم و می نویسیم:

ساختار یا ساختمان

بررسی از نظر هندسی: همان طور که در شکل زیر مشاهده می شود تفاوت بین اکسترمم های نسبی و مطلق واضح و روشن است. با توجه به شکل فوق داریم: اکسترمم های مطلق روی بازه (a,b) اکسترمم نسبی نیز هستند در حالی که عکس این موضوع همیشه درست نیست.
اگر تابع f در نقطه ای مانند x=c که c عضو Df است اکسترمم نسبی داشته باشد و f'(c) . عکس مطلب فوق درست نیست. به عبارت بهتر در این ساختار توجه می کنیم ممکن است مشتق f در نقطه ای صفر باشد ولی f در آن نقطه اکسترمم نسبی نداشته باشد مثال بارز این مطلب تابع f(x)=x3 است روی نقطه x=0. با اینکه ممکن است تابعی در نقطه مفروضی از قلمرو خود دارای اکسترمم نسبی باشد بدون اینکه در آن نقطه دارای مشتق باشد مثل تابع f(x)=|x| که در نقطه x=0 دارای Min نسبی است ولی مشتق پذیر نیست.
کاربردها: مهمترین کاربرد مطالب فوق را می توان در قضیه میانی و نتیجه ای که از این قضیه می گیریم خلاصه نمود.

قضیه مقدار میانی

اگر f روی بازه بسته a,b پیوسته باشد و اگر N عددی بین f(a) و f(b) باشد آنگاه لااقل یک عدد مانند c بین a و b (a<=c<=b) وجود دارد به نحوی که:

f(c)=N

نتیحه قضیه مقدار میانی

اگر f روی بازه بسته a,b پیو.سته باشد و f(b)<=0. f(a) آنگاه لااقل نقطه ای مانند c (a,b) وجود دارد به طوری که f(c)=0
مانند نمودار زیر:


f(a)<0 f(b)>0 →f(a).f(b)<0→f(c)=0

مباحث مرتبط با عنوان



تعداد بازدید ها: 35657


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..