منو
 کاربر Online
1354 کاربر online

استقرا

تازه کردن چاپ
علوم ریاضی > علو م رایانه
(cached)




استقرا

مقدمه

برای درک مفهوم استقرا به مراحل اثبات یکی از برابری‌های ساده در ریاضیات توجه کنید:
مجموع اعداد طبیعی زیر را در نظر بگیرید:





اگر به طور که بخواهیم را بدست بیاوریم یک راه این است که الگویی از مجموع اعداد بالا بدست آورده و سعی در اثبات آن نمائیم.





و به این ترتیب الگوی را برای مجموعة فوق در نظر می‌گیریم.
این الگو در حقیقت یک گزاره بر روی اعداد طبیعی می‌باشد که می‌توان آن را با به معنی نمایش داد.
اگر چه اثبات این الگو به طور مستقیم و بدون کمک به استقرا به سادگی ممکن می‌باشد ولی در حل مسائل ریاضی به دفعات به حدس‌هایی برمی‌خوریم که اثبات آنها می‌تواند مشکل باشد در ایدة استقرا یکی از زیباترین ایده‌های موجود برای کمک به ما می‌باشد.
برای آنکه بیشتر آمادگی ذهنی برای درک استقرا پیدا کنیم به همان مثال مجموع اعداد 1 تا می‌رویم، و می‌خواهیم گزارة را که گزاره‌ای دربارة عدد می‌باشد ثابت کنیم.
در ایدة استقرا که جلوتر به تعریف دقیق آن می‌پردازیم نخست باید برای های کوچک درستی را نشان دهیم مانند:


حال می‌دانیم لااقل برای تعدادی از ابتدای اعداد طبیعی درست است. اکنون با فرض آنکه برایحکم درست باشد، درستیرا نتیجه می‌گیریم (دقت کنید درستی را فرض می‌کنیم.


خوب حال شما بگوئید ما برای چند عدد طبیعی کوچکترین درستیرا ثابت کرده و با فرض درستی درستی را ثابت کردیم، با این حساب آیا می‌توان گفت که برای تمامی اعداد طبیعی برقرار است؟ !
به موضوع بالا فکر کنید چون اگر چه بعداً توضیح داده می‌شود ولی اگر اکنون آن را برای خود تجزیه و تحلیل کنید برای درک مطالب آینده راحت‌تر خواهید بود.

چند نماد پرکاربرد

نماد مجموع : از این جا به بعد با مجموع پشت سرهم دنباله‌ای از اعداد سروکار خواهیم داشت. برای نشان دادن مجموع از نماد استفاده می‌کنیم، و این نماد یعنی تابع از حداقل مقدار 1 شروع شده و تا حداکثر می‌رود و حاصل تمام مقادیر با هم جمع می‌شود. به طور کلی چند نمونه پرکاربرد:
به جای
به جای
به جای
و به همین ترتیب …
و به طور کلی
از به جای
استفاده می‌شود.
دقت کنید در نماد که آن را سیگما بخوانید سه قسمت مهم وجود دارد که در شکل قبل نشان داده شده است.

قضیه .

می‌توان سیگمای مجموع دو تابع یعنی را به صورت مجموع دو سیگما هر یک از توابع یعنی نوشت.

قضیه .

که k عددی ثابت است.
دو قضیه بالا به راحتی قابل اثبات بوده و از اثبات آنها صرف‌نظر می‌کنیم.

نماد حاصل‌ضرب

به طریق مشابه برای حاصل‌ضرب داریم:

به عنوان نمونه:
به جای
به جای .

پیوندهای خارجی

http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_induction
http://olympiad.roshd.ir/computer/content/pdf/0004.pdf

همچنین ببینید




تعداد بازدید ها: 46430


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..