مقدمه

یک ویژگی عمده ریاضیات آن است که در همه علوم و شئون زندگی انسان کاربرد دارد؛ هر دانشی برای گسترش و پیشرفت خود به ریاضیات نیاز دارد. این نیاز خود موجبات گسترش شگفت انگیز ریاضیات را فراهم ساخته است و امروزه آنقدر شاخه‌های متعدد در ریاضیات پدید آمده است که هر ریاضیدان فقط در زمینه‌ای خاص دارای تخصص است. گونه‌ا‌ی تخصص بررسی اساس ریاضیات است و در این باره اختلاف نظرهایی وجود دارد که بر اثرآن ریاضیدانان به چند دسته اصولیون، شهودیون و... تقسیم می شوند. اختلاف نظرهای ریاضیدانان مربوط به اساس و زیربنای ریاضیات است. همه آنان در یک موضوع اتفاق نظر دارند و آن چگونگی ثابت قضیه‌های راضی است که استدلال ریاضی عنوان می‌شود. استدلال ریاضی همان روش استنتاج منطقی است. قاعده‌های مختلف استنتاج در قالب مفاهیم اختصاصی ریاضی ؛ استدلال ریاضی را تشکیل می‌دهند.

قاعده‌های استدلال ریاضی

برهان مستقیم

این روش استدلال که به آن قاعده استلزام نیز گفته می‌شود آن است که با استفاده از مفاهیم و قضیه‌هایی که ابتدا پذیرفته و ثابت شده‌اند، زنجیره‌ای از استلزامها چنان تشکیل دهیم که از روی آنها استلزامی بدست آید که فرض قضیه پیشامد (= مقدم) و حکم قضیه پس آنگاه (= تالی) آن باشد؛ اگر P فرض قضیه و Q حکم آن باشد و استلزامهای:



را داشته باشیم، بنا به قانون قیاس ، استلزام را خواهیم داشت.

برهان مستقیم

برای اثبات اثبات قضیه‌هایی که به صورت شرط لازم و کافی بیان می‌شوند، روش کلی آن است که هم خود قضیه و هم عکس آن ثابت شود:



اما اگر بتوان زنجیره‌ای از هم ارزیها پدید آورد که از فرض شروع و به حکم پایان یابد، هم ارزی فرض و حکم ثابت شده است:

برهان مستقیم شاخه‌ای

همواره نمی‌توان زنجیره‌ای استلزامها بوجود آورد که از فرض آغاز شود و به حکم پایان می‌یابد. اما اگر بتوان چند زنجیره از استلزامها تشکیل داد که بعضی از آنها از فرض یا از اجزاء فرض و بعضی از آنها قضیه‌های قبلی آغاز شوند به گونه‌ای که ترکیب آنها استلزامی بوجود آورد، که حکم قضیه پس آنگاه (= تالی) و فرض قضیه پیشامد (= مقدم) آن باشد، قضیه ثابت شده است.

برهان با استفاده از لم

واژه لم (Lemme) فرانسوی و می‌توان آن را قضیه کمکی یا پیش قضیه نامید. برای اثبات بیاری از قضیه‌ها ، نخست یک قضیه کمکی مطرح و اثبات می‌شود، آنگاه با استفاده از نتیجه این قضیه و فرض ، زنجیره استلزامها تشکیل می‌شود. گاهی به عنوان لم ذکر می‌شود اما در بیشتر موارد از ذکر این عنوان صرف نظر می‌شود.

برهان عکس نقیض

استلزام با عکس نقیض آن هم ارز است. بنابراین برای اثبات یک قضیه می‌توان عکس نقیض آن قضیه را ثابت کرد.

برهان خلف

برهان خلف نوعی از برهان غیر مستقیم است؛ برای آنکه ثابت کنیم قضیه‌ای درست است می‌توانیم ثابت کنیم که خلاف آن قضیه، یعنی ناارز (= نقیض) آن نادرست است. خلاف قضیه می‌شود و برای اثبات نادرستی برهان را از خلاف حکم قضیه ، آغاز می‌کنیم و زنجیره‌ای از استلزامها تشکیل می‌دهیم که به تعارض برخورد کند، یا نتیجه آن خلاف فرض ، خلاف یکی از قضیه‌های قبلا ثابت شده یا خلاف یکی از اصول پذیرفته باشد و در این صورت نادرستی و در نتیجه درستی ثابت شده است.

نمونه خلاف

هرگاه قضیه‌ای با سور عمومی یا با سور هیچ بیان شده باشد و موردی مشاهده شود که قضیه درست می‌باشد، آن قضیه نادرست است.

برهان از راه تعمیم

یک ویژگی ریاضیات آن است که احکام را به گونه کلی و عمومی بیان می‌کند. در هندسه وقتی بخواهند یک ویژگی مربوط به شکلی ، مثلا مثلث ، را ثابت کنند آْن شکل را به گونه کلی و نه به گونه شکلی که اجزا آن مقادیر معلوم باشند، در نظر می‌گیرند. در حساب و جبر و سایر شاخه‌های ریاضی نیز همین روش را بکار می‌برند؛ برای آن که رابطه‌ای مربوط به یک یا چند مقدار را ثابت کنند، آن مقدار یا مقدارها را به صورت کلی و به گونه متغیر در نظر می‌گیرند و رابطه را درباره این متغیر یا متغیرها ثابت می‌کنند. به عبارت دیگر ، برای آنکه حالت خاص یک ویژگی را ثابت کنند حالت کلی آن را ثابت می‌کنند که شامل حالت خاص نیز هست.

برهان به کمک فرمول

اینگونه برهان گونه‌ای از قاعده استنتاج تخصیص است. هرگاه یک ویژگی از راه تعمیم یعنی به صورت کلی ثابت شده و نتیجه آن به صورت یک فرمول بیان شده باشد، در هر حالت خاص فقط از این فرمول استفاده می‌کنیم.

قاعده تبدیل متغیر

در یک فرمول یا در قسمتی از آن می‌توان به جای یک متغیر آن را قرار داد یا اینکه در تمام یک فرمول می‌توان متغیری را با متغیر دیگر جانشین کرد.

قاعده برگشت

از این روش برهان بیشتر درباره قضیه‌های مربوط به عددهای طبیعی استفاده می‌شود: اثبات خاصیتی مربوط به یک عدد طبیعی را به عدد قبل از آن ، سپس به عدد قبل از عدد دوم مربوط می‌کنیم و این عمل را ادامه می‌دهیم تا به عددی برسیم که خاصیت در مورد آن صادق است. قاعده برگشت ممکن است با برهان مستقیم یا برهان خلف انجام گیرد.

استفاده از رابطه برگشت

گونه قاعده برگشت استفاده از رابطه برگشت است. در یک دنباله از اعداد ، رابطه بین هر جمله با جمله‌های قبل را رابطه برگشت می‌نامند. مثلا در دنباله عددهای طبیعی رابطه برگشت این است که هر جمله برای با جمله قبلی به اضافه یک است. از رابطه برگشت برای اثبات بسیاری از ویژگیهای دنباله‌های اعداد و همچنین در عملیات مربوط به اعداد استفاده می‌شود.

قاعده افنا

این روش که حالت خاص برگشت است بیشتر درباره قضیه‌های مربوط به حد بکار می‌رود. برای اثبات خاصیتی مربوط به یک تغییر در ازای یک مقدار که حد آن متغیر است آن اثبات به ازای مقداری نزدیکتر به آن حد برگشت داده می‌شود؛ به این ترتیب که مقادیری را که متوالیا به مقدار حدی نزدیکتر هستند برای متغیر در نظر می‌گیرند و ثابت می‌کنند که در ازای هر یک از این مقادیر ، خاصیت مورد نظر برقرار است.

استقراء ریاضی

استقراء ریاضی نوع مهمی از قاعده برگشت است که بر پایه اصل پنجم از اصول پئانو مربوط به بنای حساب انجام می‌گیرد. این روش غیر از استقراء است که روش علوم تجربی است. اثبات از راه استقراء ریاضی بیشتر در مورد قضیه‌های مربوط به عددهای طبیعی انجام می‌گیرد. روش اثبات با استقراء ریاضی از این قرار است:

برای آنکه ثابت کنیم که n عدد طبیعی است، همواره درست است؛
نخست ثابت می‌کنیم که اگر کوچکترین عدد طبیعی باشد که توان بجای n قرار داد، که معمولا انتخاب می‌شود، درست است؛ آنگاه ثابت می‌کنم که اگر درست باشد نیز درست است؛ در این صورت بنا به اصل پئانو نتیجه می‌شود کهبه ازای هر n درست است.

مغالطه‌های ریاضی

مغالطه عبارت است از استدلالی نادرست که در ظاهر درست می‌نماید و قضیه‌ای نادرست را به صورت قضیه‌ای درست، یا اینکه قضیه‌ای درست را به صورت قضیه‌ای نادرست جلوه‌گر می‌سازد. مغالطه‌های ریاضی یا همان مغالطه‌های منطقی هستند که در قالب عبارت های ریاضی بیان شده‌اند، یا اینکه از بی توجهی به نکته ای در روش استدلال ریاضی ناشی شده‌اند. مثلا بیشتر از مغالطه‌های ریاضی نمونه استنتاج نادرست هستند که این استنتاج نادرست خود نمونه ای از مغالطه منطقی است درست آن است که داشته باشیم که نمونه قانون است و هر گاه شرط در نظر گرفته شود، نتیجه نادرست به دست می‌دهد. مغالطه‌های ریاضی را به عنوانهای پارادوکسهای ریاضی ، معماهای ریاضی ، تفریحات ریاضی و غیره معرفی می‌کنند.

مباحث مرتبط با عنوان

• استدلال استتنتاجی
• استدلال استقرائی
• ریاضیات
• مغالطه‌های ریاضی
• هندسه