سیستم عددی دو دویی یا مبنای دو سیستمی برای نمایش اعداد با پایه دو است؛ یعنی، هر رقم دودویی می تواند هر کدام از دو مقدار را داشته باشد. از نمادهای 1,0 برای نمایش دادن اعداد دودویی استفاده می شود. سیستم های دودویی، به خاطر اجرای تقریباً سر راست در مدارهای الکترونیکی در تمام کامپیوترهای جدید به کار برده می شوند.

در برابر سیستم دو دویی، سیستم عددی ده دهی متداول، در مبنای ده بوده و از ارقام 0 تا 9 استفاده می کند. در سیستم های دو دویی برای نمایش اعداد بزرگتر از یک به تعداد ارقام بیشتری نسبت به سیستم ده دهی نیاز است. تعداد زیاد ارقام معمولاً سیستم دو دویی را برای انسان دست و پا گیر می کند به همین خاطر آنهایی که از اعداد دو دویی استفاده می کنند برای کوتاه نویسی مبنای هشت و شانزده را ترجیح می دهند.

اولین شرح از سیستم عددی دو دویی در قرن 2 قبل از میلاد یا 5 قبل از میلاد توسط پینگالا(pingala ) ارائه شد. پینگالا سیستم عددی دو دویی را در ارتباط با وزن های شعری ودیک (Vedic) با هجاهای بلند و کوتاه توصیف کرد. سیستم عددی دو دویی جدید اول بار به صورت مستند توسط گاتفرید لاینبتیز (Gottfried Leibniz) ارائه شد. سیستم عددی پینگال با یک شروع می شد ولی سیستم عددی لاینبتیز و کامپیوترهای جدید از صفر شروع می شود.

در سال 1854، ریاضی دان انگلیسی ،جرج بول ( George Boole) نوعی عملیات منطقی را ارائه داد که با نام جبر بولی شناخته شد. سیستم منطقی بول در توسعه سیستم های دو دویی به خصوص در اجرای آن در مدارهای الکترونیکی مؤثر واقع شد.

یک عدد دودویی توسط هر توالی بیت ها (رقم های دودویی) که توسط هر مکانیسم با دو حالت محدود و دو سویه قابل بیان باشد، قابل نمایش است.

رشته علامت های زیر می تواند اعداد دودویی باشد که مقادیر مختلفی را نمایش می دهند:

11010011

on off off on

مقداری که خط نشان می دهد به مقداری که به علامت نسبت داده شده بستگی دارد. در یک کامپیوتر مقادیر عددی ممکن است توسط اختلاف پتانسیلهای مختلف نشان داده شود بر روی یک دیسک مغناطیسی هم ممکن است از قطبیت های مغناطیسی استفاده شود. برای مشخص کردن پایه یا مبنای اعداد پس از نوشتن عدد از اندیس یا پسوند استفاده می شود:

100101 binary

( b پسوندی برای نشان دادن دودویی) 100101 b

( اندیس 2 برای نمایش مبنای دو) 1001012

در هنگام به کار بردن در گفتار برای بیان اعداد دودویی برای تمیز دادن آن از اعداد دهدهی رقم های آنها تک تک تلفظ می شود.

برای مثال عدد دودویی "100" به صورت "یک صفر صفر" تلفظ می شود نه به صورت "صد".

شمارش اعداد دودویی همانند دیگر سیستم های عددی می باشد. با شروع از یک رقم تنها شمارش با عبور از علائم مختلف انجام می شود.

هنگامی که علائم رقم اول تمام می شود به رقم مرتبه بالا (سمت چپی) یک واحد اضافه و شمارش دوباره از صفر آغاز می شود.

در اعداد دودویی، شمارش همانند دهدهی است با این تفاوت که فقط از 0 و 1 استفاده می شود. وقتی به عدد 1 می رسیم، شمارش دوباره از 0 شروع می شود و به رقم سمت چپ یک واحد اضافه می شود.

(رقم سمت راست صفر شده و به رقم سمت چپ آن یک واحد اضافه می شود) 000 , 001

(رقم سمت راست و میانی صفر شده و به صفر اولی یک واحد اضافه می شود) 010 , 011

100 , 101...

گفته می شود "در این دنیا دو نوع از مردم وجود دارند: آنهایی که دودویی را می فهمند و آنهایی که نمی فهمند"

ساده ترین عملیات ریاضی در دودویی، جمع است. جمع زدن دو عدد تک رقمی دودویی نسبتاً ساده است:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 1 = 10 (رقم یک منتقل می شود)

هنگامی که نتیجه جمع از مقدار مبنا تجاوز می کند "عدد یک به سمت چپ منتقل" و به محل بعدی اضافه می شود.

1 1 1 1 (منتتقل شده)

0 1 1 0 1

+ 1 0 1 1 1

-------------------

= 1 0 0 1 0 0

شروع از ستون سمت راست، 1+1=10، رقم 1 به سمت چپ منتقل می شود و در پایین ستون 0 نوشته می شود. دومین ستون از سمت راست جمع زده می شود 1+1+0=10 دوباره 1 منتقل و 0 در پایین نوشته می شود ستون سوم، 1+1+1=11. این بار عدد 1 منتقل و درپایین ستون،1 نوشته می شود به همین صورت جواب 100100 به دست می آید.

در تفریق هم تا حد زیادی به همان صورت کار می کنند:

0 – 0 = 0

0 – 1 = 1 (قرض گرفته شده)

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

* * * * (از ستون های ستاره دار قرض گرفته شده است)

1 1 0 1 1 1 0

- 1 0 1 1 1

-----------------

= 1 0 1 0 1 1 1

تفریق یک عدد مثبت از یک عدد دیگر مثل "جمع" منفی قدر مطلق آن با آن عدد است. کامپیوترها برای نمایش مقادیر منفی از مکمل عدد دو استفاده می کنند. برای جزئیات بیشتر مکمل عدد دو را ببیند.

تقسیم در مبنای دو نیز همانند تقسیم ده دهی است.

در اینجا مقسوم علیه 1012 یا عدد5 است.

1 1 0 1 1 1 0 1

1 0 1 1 0 1

--------

0 1 1

0 0 0

---------

1 1 1

1 0 1

--------

0 1

همانند ضرب های طولانی ده دهی سه رقم از مقسوم جدا و آن را بر مقسوم علیه تقسیم می کنیم بنابراین در خارج قسمت عدد1 را می نویسیم عدد یک از مقسوم علیه ضرب و حاصل از سه رقم جدا شده کم می شود. رقم بعدی "1" اضافه می شود. این کار ادامه پیدا می کند تا جایی که رقم های مقسوم تمام شود.

بنابراین خارج قسمت تقسیم 11011 بر 101 برابر 1012 و باقی مانده 102 است.

هر چند به طور مستقیم به تفسیر عددی علائم دودویی مربوط نمی شود، بیت ها را می توان با عملگرهای منطقی بولی دستکاری کرد. دستکاری رشته از علائم دودویی به این صورت را عملیات بیتی می گویند. عملگرهای منطقی و AND، یا OR وXOR ممکن است روی بیت های متناظر دو عدد باینری که به عنوان ورودی هستند عمل کنند. عملگر NOT منطقی ممکن است بر تک بیت های یک عدد دودویی ورودی کار کند. گاهی اوقات از این عملگرها می توان به عنوان میانبر محاسباتی استفاده کرد این عملگرها ممکن است فواید محاسباتی دیگری هم داشته باشد، عملگر بیتی را ببینید.

در هر سیستم عددی ارقام به ترتیب دارای درجه اهمیت کمتری هستند و موقعیت ها به ترتیب، توان های کمتری از مبنا را نشان می دهد. توان اول یکی کمتر از تعداد ارقام عدد است. یک عدد سه رقمی با توان دو شروع می شود. در سیستم های ده دهی، مبنا ده است بنابراین سمت چپ ترین رقم یک عدد سه رقمی موقعیت صدگان را نشان می دهد. برای مثال

این رابطه در دودویی هم وجود دارد. ارقام پشت سرهم توان های به ترتیب کم شونده ای از مبنای دو را نشان می دهد که برای یک عدد n رقمی از توان n-1 شروع می شود. عدد پنج رقمی زیر را در نظر بگیرید:

روش تبدیل از ده دهی به دودویی قدری متفاوت است. برای تبدیل یک عدد صحیح ده دهی به دودویی، عدد را بر دو تقسیم کرده و باقی مانده را در جایی نگه می داریم. نتیجه را بر دو تقسیم و باقی مانده را سمت چپ رقم قبلی قرار می دهیم. تا وقتی که خارج قسمت صفر شود.

تبدیل اعداد دودویی به مبنای شانزده و برعکس تا حدودی ساده است. به این خاطر که شانزده توانی از مبنای سیستم های دودوی (2) است. به طور دقیق تر، 24 = 16، و برای نمایش یک رقم در مبنای 16 از چهار رقم در مبنای 2 استفاده می شود.

جدول زیر هر سری چهار رقمی مبنای دو و معادل مبنای شانزده آن را نمایش می دهد.

برای تبدیل یک عدد مبنای شانزده به دودویی معادلش، به سادگی معادل ها را جایگزین کنید. مثلاً:

3A در مبنای شانزده = 0011 1010 در مبنای دو

E7 در مبنای شانزده = 1110 0111 در مبنای دو

برای تبدیل یک عدد مبنای به مبنای شانزده آن را به گروه های چهارتایی تقسیم می کنیم، اگر تعداد ارقام مضرب چهار نیست در سمت چپ به تعداد لازم 0 قرار می دهیم مبنای شانزده. برای مثال:

اعداد دودویی به راحتی به مبنای هشت تبدیل می شوند. چون این سیستم اعداد از پایه ی 8 استفاده می کنند که توانی از دو است ( 23، بنابراین هر سه رقم مبنای 2 معادل یک رقم مبنای هشت است). برای هشت عنصر اول جدول بالا رابطه بین دودویی و مبنای هشت همانند دودویی و مبنای شانزده است.

اعداد غیر صحیح با استفاده از توان های منفی قابل نمایش هستند که توسط یک نقطه مبنا ( که در سیستم ده دهی یک نقطه ده دهی ممیز نامیده می شود) از دیگر اعداد تمیز داده می شود.

برای مثال عدد دودویی 11.012 به این صورت تفسیر می شود:

+ (1*2=2) 21 مرتبه 1

+ (1*1=1) 20مرتبه 1

+ (0*(1/2)=0) 2-1 مرتبه 0

+ (1*(1/4)=0.25) 2-2 مرتبه 1

که مجموعاً 3.25 در مبنای ده می شود. تمام اعداد گویای زوج ؟؟؟ p/2a یک شکل دودویی مختوم دارند – نمایش دودویی پس از نقطه ی مبنا تعداد زیاد ولی محدودی جمله دارد. دیگر اعداد گویا دارای نمایشی از ارقام محدودی که به طور نا محدود تکرارمی شوند هستند.

برای مثال 1/310 = 1/112 = 0.0101010101...2

این واقعیت که نمایش دودویی اعداد گویا، یا مختوم اند و یا متناوب در دیگر سیستم های عددی مبنادار هم رخ می دهد برای مثال، توضیح ده دهی را ببینید. شباهت دیگر وجود نمایش های متناوب برای هر نمایش مختوم است با توجه به این واقعیت که 0.111111...2 مجموع سری هندسی 2-1 + 2-2 + 2-3 + ... که برابر 1 است می باشد.

اعداد دودویی که نه مختوم اند و نه متناوب، اعداد گنگ نامیده می شوند. برای مثال:

* 1.01101010000011... نمایش دودویی عدد گنگ است. این عدد الگوی مشخصی ندارد هر چند اثبات گنگ بودن به ابزارهای بیشتری نیاز دارد. اعداد گنگ را ببینید.